广东省深圳市福田区红岭中学2024-2025学年高三上学期第二次统一考试数学

红岭中学（红岭教育集团）2025届高三第二次统一考试数学(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1．设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A．B．C．D．2．化简等于（    ）A． B． C． D．3．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（    ）A．72 B．78 C．96 D．1205．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）A． B．C．D．6．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．7.已知，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．8．将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则=（    ）A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题的4个选项中有多个选项是正确的,少选的按比例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）9．记为数列的前项和，下列说法正确的是（    ）A．若对，，有，则数列一定是等差数列B．若对，，有，则数列一定是等比数列C．已知，则一定是等差数列D．已知，则一定是等比数列10．已知△ABC的内角所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（    ）A．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞BB．若，则是等腰三角形C．若在线段AB上，且，则△ABC的面积为8D．若，动点在△ABC所在平面内且，则动点的轨迹的长度为11．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成立的是（   ）A．三棱锥的体积最大值为B．三棱锥的外接球体积不变C．异面直线与所成角的最大值为D．与平面所成角余弦值最小值为三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卷相应位置上）12．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是.13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为.14．已知函数有三个不同的零点，其中则的值为.四、解答题（共77分，请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必要的文字叙述和推理说明）15．(本小题13分)设正项数列的前n项和为，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．16．(本小题15分)如图，、、为圆锥三条母线，.(1)证明:；(2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求平面PAB和平面PAC所成角的余弦值．17．(本小题15分)已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程；(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点,并求出这个定点．18．(本小题17分)已知函数．(1)若的极大值为，求的值；(2)当时，若，使得，求的取值范围．19.(本小题17分)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：①当的三个内角均小于120∘时，满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O为费马点；②当有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点．请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点M为的费马点，且cos2A+cos2B−cos2C=1．(1)求C；(2)若c=4，求MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最大值；(3)若MA+MB=tMC，求实数t的最小值．