广东省深圳市福田区红岭中学2024-2025学年高三上学期第二次统一考试数学答案

红岭中学（红岭教育集团）2025届高三第二次统一考试数学参考答案(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)1234567891011CABBDACCACACDABD1．C2．A【分析】利用同角三角函数的基本关系式，结合三角函数值的符号，化简所求表达式.【详解】依题意，原式①.由于，所以，故①可化为.故选：A.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查三角函数值在各个象限的符号，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.3．B【详解】设等差数列的公差为，则因为等差数列和的前项和分别为、，满足，，故选：B4．B【分析】讨论甲是否在第5名，根据排列组合公式计算即可.【详解】当甲是第5名时，共有种；当甲不是第5名时，共有种；综上，共有78种.故选：B5．D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D6．A【分析】根据函数的解析式作出函数的图象，根据结合函数的对称性可得及的范围，从而求解的范围.【详解】作出函数的图象如图：  设，且，则函数与直线的三个交点从左到右依次为，，，则点与在函数上，而函数的图象关于直线对称，所以，由得，若满足，则，所以，所以，即的取值范围是.故选：A.C【解析】构造函数，得，，，．当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增．易知，所以，所以．又，因为，所以，所以．所以．8.C9．AC【分析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前项和的形式，可逐一判断.【详解】由和等差中项的性质，可得数列是等差数列，即A正确；当时，由和等比中项的性质，可得数列是等比数列，即B不正确；由等差数列前项和，得可看成的二次函数，且不含常数项，则C正确；由等比数列前项和，若，则，所以，则此时数列不是等比数列，则D错.故选：AC10．ACD【分析】化简条件得到，求得或，可判定B不正确；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C正确；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D正确．【详解】对于A中，由正弦定理可知A正确；对于B中，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因为，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；对于C中，由在线段上，且，，，，则，设，在中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，在中，可得，在中，由余弦定理可得，，所以，所以的面积为，所以C正确；对于D中，在中，因为，，则点在以为弦的一个圆上，由正弦定理可得外接圆的直径为，即，当点在外部时，如图所示，因为，可得，所以，所以的长度为，同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，所以动点的轨迹的长度为，故D正确．故选：ACD.11．ABD【分析】对于A，当平面平面时，三棱锥的高最大，再棱锥体积公式计算即可；对于B，设的中点为，则由知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，再用球的体积公式计算即可；对于C，若，由，，平面，平面，可得平面，得到，因为，直角三角形斜边最长，知道不成立;对于Ｄ,因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面所成角最大，当平面平面时，到面的距离最大为，再用锐角三角函数和同角三角函数关系分析计算即可.【详解】解：对于A，，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大值为，故A正确；对于B，设的中点为，则由知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以外接球体积为，即三棱锥的外接球体积不变，故B正确；对于C，若，由，，平面，平面，可得平面，因为平面，则，因，根据直角三角形斜边最长，知道不成立，故C错误；对于D，因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面所成角最大，当平面平面时，到面的距离为，设与平面所成角为，此时，因为为锐角，所以，即与平面所成角的余弦值最小值为，故D正确．故选：ABDeq\f(b,a＋b)解析：设事件A＝“第一次抽出的是黑球”，事件B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋eq\x\to(A)B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．由题意P(A)＝eq\f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq\f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(a,a＋b)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(b,a＋b＋c)，所以P(B)＝eq\f(bb＋c,a＋ba＋b＋c)＋eq\f(ab,a＋ba＋b＋c)＝eq\f(b,a＋b).13．【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程.【详解】因为，，且为中点，所以，且，，因为，所以，解得，直线的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为.故答案为：.  14．1【分析】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围.【详解】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，∴，作出的图象，如图，要使有三个不同的零点，其中令，则需要有两个不同的实数根（其中）可得，∵，∴，则∴，则，且∴，故答案为：1.【点睛】关键点点睛：数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，再利用韦达定理化简进而求得结果。15．(1)(2)【详解】（1）由，得，因为，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由知：当时，，①，则②，由得：，化简得：，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到.（2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值.【详解】（1）取中点，连接、，因为，所以，又因为面面，所以面，因为面，所以.（2）因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而故可建立如图所示的空间直角坐标系，因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为3，所以，则可得，故，设为面的法向量，则，令，则，所以.设为面的法向量，则，令，则，所以.则，所以平面PAB和平面PAC所成角的余弦值为.17．(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，由三角形面积为，得，则，，所以的方程是.（2）由（1）知，点，设直线的方程为，设，由消去x得：，则，直线与的斜率分别为，，于是，整理得，解得或，当时，直线过点，不符合题意，因此，直线：恒过定点.  【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.18．(1)；(2)【分析】（1）对函数求导后，由，得或，然后分，和三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值，使极大值为可求出；（2）将问题转化为在上的值域是在的值域的子集，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论即可.【详解】（1），因为，令，解得或，①当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，不符合题意；②当时，即时，，在R上单调递增，无极大值；③当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，，符合题意．综上所述，．（2）由题意得当时，在上的值域是在的值域的子集，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，①当时，即时，当时，单调递增，，又因为当时，，因为，所以当时，使得，②当时，即时，当时，单调递增，，当时，，若满足题意，只需，即，③当时，即时，当时，在上单调递减，上单调递增，所以函数的最小值为，所以，又因为时，，若满足题意，只需，即，因为，所以，所以无解，所以不合题意综上，实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：此题第（3）问解题的关键是转化问题为当时，在上的值域是在的值域的子集，进一步转化求函数的值域问题，从而得解.19.解：(1)因为cos2A+cos2B−cos2C=1，所以1−2sin2A+1−2sin2B−1+2sin2C=1，即sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理得a2+b2=c2．所以C=90∘．(2)由(1)知C=90∘，所以▵ABC的三个角都小于120∘，因为点M为▵ABC的费马点，所以∠AMB=∠BMC=∠CMA=120∘．由S▵ABC=S▵AMB+S▵BMC+S▵CMA得：12ab=12MA⋅MBsin120∘+12MB⋅MCsin120∘+12MC⋅MAsin120∘，整理得MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA=233ab ．又因为c2=a2+b2=16≥2ab，所以ab≤8，当且仅当a=b时等号成立．所以MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA=233ab≤1633，所以MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最大值为1633．(3)由(2)知∠AMB=∠BMC=∠CMA=120∘．设MC=x,MA=mx,MB=nx,(x>0,m>0,n>0)，由MA+MB=tMC得m+n=t．由余弦定理得：在△ACM中，|AC|2=x2+m2x2−2mx2cos120∘=m2+m+1x2，在▵BCM中，|BC|2=x2+n2x2−2nx2cos120∘=n2+n+1x2，在▵ABM中，|AB|2=m2x2+n2x2−2mnx2cos120∘=m2+n2+mnx2，因为|AC|2+|BC|2=|AB|2，所以m2+m+1x2+n2+n+1x2=m2+n2+mnx2，整理得m+n+2=mn．因为m+n+2=mn≤m+n22，当且仅当m=n时等号成立，所以t+2≤t22，整理得t2−4t−8≥0，解得t≥2+23或者t≤2−23(舍去)，所以实数t的最小值为2+23．