豫西北教研联盟(许洛平)2024-2025学年高三第一次质量检测数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=x,−3,b=3x,x+2,若a⋅b=0,则x=A.-1B.2C.2或-1D.2或-22.已知集合A={x∣1B,q:sinA>sinBD.直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+a−1y+3=0,p:l1//l2,q:a=25.已知fx=lnx+1+x2,则fx2−8+f2x≥0的解集为A.{x∣−2≤x≤4}B.{x∣−4≤x≤2}C.{x∣x≥4或x≤−2}D.{x∣x≥2或x≤−4}6.过双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点F的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的长度取最小值时,直线l恰有两条,则双曲线C的离心率为A.2B.3C.2D.57.已知数列an,bn中,a1=2,b1=6,an+1=2an,bn+1=2bn−an,若am=bm,则m=A.4B.5C.6D.78.已知a>0,若函数fx=−ax2−a−2x+lnx,x>0ln−x+1−axex,x<0没有零点,则实数a的取值范围是A.e,+∞B.(1,e)C.(0,1)D.1,+∞二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知ab=14且a,b∈0,1,则A.a2+b2≥12B.b+49a>23C.1a+1b≥4D.a2+b≥3410.在平面直角坐标系中,角α的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边与以O为圆心,1为半径的圆交于点A32,−12,射线OA绕点O逆时针旋转2θ后交圆O于点B,若点B的纵坐标为y,设y=fθ,则A.α=5π6B.fθ=sin2θ−π6C.函数y=fθ的单调递增区间为−π6+kπ,π3+kπ,k∈ZD.fθ的对称中心为π3+kπ2,0,k∈Z11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,P为线段A1E上的动点,Q为底面ABCD(含边界)上的动点,且平面A1QC⊥平面A1DC,则A.直线BP与平面BCC1B1所成角的最大值为π4B.点Q的轨迹长度为5C.三棱锥Q−A1D1E的体积为定值D.若A1P=λA1E,且PQ//平面ADD1A1,则λ的取值范围为12,1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知复数z满足z4−3i=2+i,则z=_____.13.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:4x−5y+4=0与C的一个交点为M,直线MF与C的另一个交点为N,则MN=_____.14.已知三棱锥P−ABC,AC=22,PB=2,AB⊥BC,二面角P−AB−C的大小为60∘,当三棱锥P−ABC的体积取得最大值时,其外接球的表面积为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点,点G3,32在椭圆C上,点G关于原点的对称点为H,四边形GF1HF2的面积为3.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F2作直线l与C交于A,B两点,△F1AB的面积为1227,求l的方程.16.(15分)已知函数fx=32sinx+cos2x2,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且fB=32.(1)求B;(2)若2b2=2c2+ac,求a+bc的值.17.(15分)(15分)如图,四棱锥P−ABCD中,PA⊥PD,△PCD为等边三角形,四边形ABCD为直角梯形,AB//CD,AB⊥BC,CD=2AB=2.(1)证明:平面PAD⊥平面PDC;(2)若PA与平面ABCD所成的角为60∘,求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.18.(17分)已知函数fx=xex−ax.(1)若fx在点1,f1处的切线方程为x−y+1e=0,求a的值;(2)若a≤−1e2,判断函数fx的单调性;(3)当a=0时,证明:emfx≤1−mx+m2,其中0≤x≤2,0