内蒙古自治区赤峰市2024-2025学年高三上学期11月期中数学答案

赤峰市2024年高三1120模拟测试参考答案与评分细则题号12345678答案BCDACABC题号91011答案ABDADACD1312.[,1]13.202514.36四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知abc,,分别为△ABC三个内角ABC,,的对边，且acosC+3asinC−b−c=0.（1）求A；（2）若a=23，的面积为23，求bc,.【详解答案】（1）由正弦定理可将化为sinACACBCcos+3sinsin−sin−sin=0，………………（2分）其中sinBACACAC=sin(+)=sincos+cossin，可得3sinACACCsin−cossin−sin=0，………………（4分）1在中，sinC0，可得3sinAA−cos−1=0，由辅助角公式可得sin(A−=)，（6分）62可得A=.………………（7分）3113（2）的面积为S=bcsinA=bc=23，可得bc=8，………………（9分）222b2+−c2a2由余弦定理cosA=，可得bc22+=20，………………（11分）2bc综上bc==2,4或bc==4,2.………………（13分）第1页/共6页{#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}16.（本小题满分15分）1已知幂函数fx()的图象过点(3,9)，g()()x=−xk.2（1）求fx()的解析式；（2）记f(x),g(x)在区间[1,2)上的值域分别为AB,，若xA是xB的必要条件，求实数k的取值范围；f(x)+2kx+k（3）设hx()=，对x[0,1]，x(−，0)使得g()()x≤hx成立，求正实数k的x1212最小值.【详解答案】（1）设幂函数f()x=xm，由题意39m=，即m=2，即函数的解析式为f()x=x2.………………（2分）（2）由题意在区间[1,2)上的值域为[1,4)，………………（3分）111而函数g()()x=−xk区间上的值域为(,]−−kk，………………（4分）24211由是的必要条件可知(−kk,−][1,4)，………………（6分）421173即−k≥1且−k4，解得−k≤−.………………（8分）4224f(x)+2kx++kx2+2kxkk（3）由题意h(x)===x+2k+（k0），………………（9分）xxx对，使得成立，可得g()()xmax≤hxmax，………………（11分）1在区间[0,1]上，g()()x=−xk的最大值为1−k，………………（12分）2k在区间(−,0)上，h(x)=x+2k+的最大值为22kk−，………………（13分）x1令1−−k≤2k2k，可得3kk−−21≥0，解得k≤−（舍）或k≥1，3即k≥1，即正实数的最小值为1.………………（15分）第2页/共6页{#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}17.（本小题满分15分）x13已知函数f(x)=3acos2+asinx−a（0，a0）在一个周期内的图象如图所示，222其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形.（1）求ω与a的值；41（2）将函数fx()的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数3231πy=g()x的图象；若g(2)=，(0,)，求cos(−)的值.323【详解答案】T2（1）由已知可得f(x)=+asin(x)BC==4T=8==，…………（3分）32843由题图可知，正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a，则a==BC23.…………（6分）24（2）由（1）可知f(x)=+23(sinx)，由函数fx()的图象向右平移个单位长度，4331再把横坐标变为原来的，得y=g()x图象可知：g(x)=23sinx，………………（10分）2231由g(2)=得，sin=，………………（11分）361由（0，）得，（0，），2235从而cos=1−sin2=，………………（13分）63511335+3故cos(−)=coscos+sinsin=+=.………………（15分）333626212第3页/共6页{#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}18.（本小题满分17分）某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形ABCD的周长为8cm，设其中较长边AD为x，将△BCD沿BD向△ABD折叠，BC折过后交于点E.（1）用x表示图1中△BAE的面积；（2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计）.已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用.【详解答案】（1）因为AD=x，所以AB=−4x，又因为AD为较长边，所以4−xx4，即2x4.………………（3分）设ED=a，则AE=−xa因为CED=AEB，DCE=EAB，AB=DC所以Rt△BAERt△DCE,所以BE==EDa，………………（5分）在Rt△BAE中，由勾股定理得BA2+AE2=BE2，x2−4x+8即(4−x)2+(x−a)2=a2，解得a=，………………（7分）x4x−88所以AE=x−a==4−，………………（8分）xx1188所以△BAE的面积S=ABAE=(4−x)(4−)122(=−x+)（24x）（单位：cm2）22xx………………（10分）（2）设一枚徽章的镀金费用为y元，则8y=6S22=24[12−2(x+)]………………（13分）△BAEx88由基本不等式可知：x+≥42，当且仅当x=，即x=22时等号成立，…………（15分）xx8yx=24[12−2(+)]≤24(12−82)=96(3−22)x所以当AD=22时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为96（3−22）元.…………（17分）第4页/共6页{#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}19.（本小题满分17分）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度.如图所示的光滑曲线C：y=f()x上的曲线段AB，其弧长为s，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则Δ弯曲程度越大，因此可以定义K=为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越ΔsΔyK==lim能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义Δs→0Δs3（若极限存在）为曲线C在点(1+y2)2A处的曲率.（其中y，y分别表示y=f()x在点A处的一阶、二阶导数）（1）求函数f(x)=x2−3x−4在点(−1,0)处的曲率；（2）已知函数g(x)=+sinxcosx，求函数gx()的曲率K的最大值；a31（3）设函数h(x)=x2lnx−x3−x2，a(0,)，若存在xx,使得hx()的曲率为0，求证：32e1282lnxx+ln.123【详解答案】（1）f(x)=x2−3x−4，f(x)=2x−3，f(x)=2，f(−1)=−5，f(−1)=2，…（2分）22K=所以函数f(x)=x−3x−4在点(−1,0)处的曲率为3.………………（3分）262（2）g(x)=sinx+cosx，g(x)=cosx−sinx，g(x)=−sinx−cosx，由K定义知为非负数，由题意得，22g(x)=cos2x+sin2x−2sinxcosx=1−sin2x，g(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x，22g(x)1+sin2x∴K=3=3，………………（5分）(1+g(x)2)(2−sin2x)21+u1+u令u=sin2x−1,1，∴K=，令F(u)=，………………（6分）(2−u)3(2−u)3(2−u)3−−3(2−u)2(1+u)5+2u则F(u)==0在−1,1上恒成立，………………（8分）(2−u)6(2−u)41+u2F(u)=3在−1,1上单调递增，即(K)=F(u)=F(1)=2，(2−u)maxmaxKmax=2，当且仅当u=sin2x=1时取到，所以曲率的最大值为2.………………（9分）（3）证明：由题意可得h(x)=2xlnx−ax2−2x，h(x)=2lnx−2ax，lnx若h(x)曲率为0，则h(x)=0，即lnx−ax=0，即a=，………………（10分）x第5页/共6页{#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}lnx1−lnx令(x)=，则(x)==0，得x=e，………………（11分）xx21所以在(0,e)上，(x)0，(x)单调递增，且(x)(e)=；e1在(e,+)上，(x)0，单调递减，且0(x).e1又a0,，所以a=(x)有两个解.e设为x1，x2，0x1ex2，………………（13分）lnx1lnx2lnx1−ax1=0lnx1x1又a==，所以，可设==t，t(0,1)，x1x2lnx2−ax2=0lnx2x2lnx1lntx2所以==t，t(0,1)，lnt+lnx2=tlnx2，lnx2lnx2lnttlnt化简可得lnx=，则lnx=.………………（15分）2t−11t−18(2t+1)lnt8要证2lnx+lnx，即证，123t−138(t−1)8(t−1)需要证lnt，即证lnt−0，………………（16分）3(2t+1)3(2t+1)8(t−1)令H(t)=lnt−，3(2t+1)18(2t+1)2−8t(2t−1)2H(t)=−==0t(2t+1)2t(2t+1)2t(2t+1)2所以H(t)在(0,1)上单调递增，所以H(t)H(1)=0，得证.………………（17分）第6页/共6页{#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}