2024年秋期六校第二次联考高二年级数学参考答案1．【答案】C【解析】设→=x→+y→，即可解得x，y的值，进而求出λ值. 2．【答案】B3→→→3【解析】因为→在→方向上的投影向量为→，所以 . =→，所以→.→=3，所以→+→ 2 |→|→|2 | （）→.→→+→52在→方向上的投影数量为 =. |→|2 3．【答案】B【解析】当甲安排为“定点投篮”工作，另外3人任意安排工作有6种方法.当甲也不安排“定点投篮”工作时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，则此时有2×2×2=8种方法，共有6+8=14种，故选：B.4．【答案】C12【解析】 = - =（→+→）-→. 2 3 5．【答案】D【解析】取AC的中点H，SC的中点F，连接DH，EH，EF，DF，如右图所示：在△SCA中，因为D，F分别为SA，SC的中点，故DF//AC，故∠FDE即为所求角或其补角；设AB=BC=2SC=2，在△ABC中，AC=2BCsin60°=23，1又有DF= =3，由SC⊥平面ABC，可得SC⊥BC，则 =1+4=5，215 = =，由于DH//SC，可得DH⊥平面ABC，又 ⊂面ABC，则2215DH⊥EH，可得 = 2+ 2=+1=，所以42552223+− + − 4415．故选：cos∠ ==5=D.2 ⋅ 23×526．【答案】A【解析】设过点（－，）且方向向量为→（，-）的光线，交直线－的点为，Aa0 =11y=bB右焦点为，因为方向向量→（，－）的直线斜率为-，则∠°，直线的斜率C =111CAB=45AB为-1，又由反射光线的性质可得BC的斜率为1，故AB⊥BC，所以△ABC为等腰直角三角形，且B到AC的距离为b，又AC=c+a，故a+c=2b， 2+ 2+2ac=4 2=4（ 2- 2），则（3a-5c）（a+c）高二年级数学参考答案第1页（共8页） 3=0，故3a=5c，离心率e==. 57．【答案】A【解析】设点P（x，y），则由| |=2| |得点P的轨迹方程为x²+y²=4，圆心为（0，0），半 径为2，由此可知圆（x－a－1）²＋(y－3 ＋2)2=9与x²+y²=4有公共点，又圆（x－a－1）²＋(y－3 ＋2)2=9的圆心为（a+1，3a-2），半径为3，所以1≤( +1)2+(3a−2)2≤5，解得-1≤a≤2，即a的取值范围是[-1，2].故选A.8．【答案】D【分析】可借助正方体解决正八面体的有关问题.【解析】正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为22.∵，，，四点共面，直线与是共面的，故错；设二面角－－为，AECFAECFAEABDɵ △ =12 3， 正方形 =4，所以cosɵ=≠，ɵ≠，所以：二面角E－AB－F=2ɵ≠，故B错；324218V=×4×22=2，故C错；由八面体的构成可知：平面ABE和平面DCF之间的距离33112是正方体体对角线的，所以两个平面之间的距离为：×22×3=6，故D正确.3339．【答案】ABD【解析】对于，⊥，所以-（-），解得；对于，点在圆内，A 1 23a×242a1=0a=2BAC当CA⊥PQ时，|PQ|取最小值，|CA|=5，r=3，所以|PQ|的最小值是4；对于C，方程表示椭4− >05圆的充要条件是 −1>0，解得1答案】AC【解析】直线过（0，1），双曲线的渐近线方程为y=±x，k=±1时一个交点，k=±2时切于一点，k˂－2或k＞2时没有公共点，－2˂k˂－1或－1˂k˂1或1˂k˂2时两个公共点.高二年级数学参考答案第2页（共8页）11．【答案】BD【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.【解析】设该正方体为ABCD－A1B1C1D1，且其棱长为a，若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况：①若中间的两个平面为平面A1BD和平面B1D1C，如图1所示，则过，，作截面，截面图如图所示，2，，6，A1AC2AE=aA 1=a 1E=a2212163设相邻两平面间距离即为A到A1E的距离h，可得×a×a=×a×ℎ，解得h=a，2222333即相邻两平面间距离即为A到A1E的距离a，可知a=1，解得a=3；（法二：333a=,3故a=3）②若中间的两个平面如图3所示，过B，C，C1作截面，截面图如图4所示，其中，分别为，₁₁中点，则1，，5，设相邻两平面间距MNBCBCBM=aB 1=a 1M=a22离即为到的距离，可得1115，解得5，相邻两平面间距离即为B 1Md× ×a=×a×dd=a22225到的距离5，则5，解得；故选：B 1Maa=1a=5BD.5512．【答案】（-1，1）|k×6−0+4k||10k|【解析】圆心C到直线l的距离d==，要在圆C上至少存在两点到直 2+(−1)2 2+1|10k|线l的距离等于t=2，则需要|d-t|0，b>0，.......2分1111 1+=（+）（a+b）=2++≥4，当且仅当a=b=时等号成立， 211所以+的最小值是4..........................5分 （2）由题意知抛物线的准线为x=-2，所以抛物线方程为y2=8x，...................7分焦点（，），，F20 0≥0，22其中2，分|AF|= 0+2|AB|=( 0+1)+ 0, 0=8 0.........................9| |2228所以( 0+1)+ 0( 0+1)+8 08 01+（），===1+=1≤3 0>0| |−1 +1 +1 2+2 +1 0+2+0000 0当且仅当时等号成立分 0=1..............13| | =0时=1，...........14分0| |−1| |所以的最大值是...........15分| |−1317．【答案】3（1）；（2）2727【解析】（1）根据题意，由直角梯形边长AB=BC=2，DC=3，可知∠C=60∘，∠ABC=120∘；又点E是DC边上靠近于点D的三等分点，所以EC=2，可得△BCE为等边三角形；连接AE，如下图所示：高二年级数学参考答案第5页（共8页）可得四边形ABCE为菱形，所以AC⊥BE，即折起后⊥，⊥，分AFBE 1FBE.........................................2如图所示，易知，又，满足222，AF= 1F=3A 1=6 + 1 = 1即⊥；分AF 1F......................................4又，，平面，所以⊥平面，分AF⋂BE=FAFBE⊂ABED 1FABED.......................5且，梯形的面积为1（）33， 1F=3ABED×1+2×3=223V=1×33×3=.........................7分322（2）以D为坐标原点，分别以 , 为x，y轴， 方向为z轴正方向建立空间直角坐标系， 1如下图所示：则（，，），（，，），（，，），（3，3，），D000A300B320 132213可得 =（3，，-3）， =（3，，3）， =（3，0，0），...............10分 1 22 122 3 +3 +3 =0设平面的法向量→（，，），则22， 1AD =xyz3 =0可得→（，-，）为平面一个法向量，分 =023 1AD....................13设与平面所成的角为，B 1 1AD ||→→. | |−4|所以sin =|cos<→, >|=1==27...........15分 1|→|| | 277 1 其它建系方法，只要结果正确，都给分。18．【答案】（1）证明见解析；（2）15.5【解析】（1）取线段PC的中点M，连接OM，EM，在△PCD中，E，M分别为PD，PC的中点.EM//CD，高二年级数学参考答案第6页（共8页）1且EM=CD，....................2分21又∵底面ABCD是正方形，且O是AB的中点，所以AO//CD，且AO=CD，所以EM//AO，2且EM=AO∴四边形AOME为平行四边形，............4分则OM//AE，又OM⊂平面POC，AE⊄平面POC，∴AE//平面POC........6分（2）由OA=PA=2，∠PAB=60°可知△POA为等边三角形，.............7分设OA中点为Q，则PQ⊥OA，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=OA，所以PQ⊥平面ABCD，...................9分设CD上靠近点D的四等分点为N，以Q为原点，分别以QB，QN，QP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则（，，），（，，），（-，，）， （，，-）， （-，，），P003B300D140 =303 =440...........11分→. =3 −3 =0设平面PBD的法向量为→=（x