山东省百校大联考2024-2025学年高三上学期12月学情诊断 数学试题

2025届高三上学期学情诊断数学2024.12注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．复数的共轭复数是A． B． C． D．2．已知，，若，则实数的取值构成的集合是A． B． C． D．3．已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则A． B． C． D．4．已知点为△外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为A． B． C． D．5．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是A．与内所有的直线都垂直 B．,,C．与内无数条直线垂直 D．,,6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是A． B．C． D．7．已知函数，则A． B． C． D．8．已知函数的定义域是，其导函数满足，且有，则A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知，为实数，则下列不等式正确的是A． B． C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是A．是偶函数B．是周期函数C．关于直线对称D．当时，11．如图，在三棱锥中，两两垂直且，分别为线段上异于端点的动点，满足，，下列说法正确的是A．三棱锥的外接球的表面积是B．当时，线段的最小值是C．当时，三棱锥的体积是定值D．若空间中的点满足且，则满足条件的点所形成的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则．13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________________．14．已知△外接圆的半径为，是△的面积，分别是△三个内角的对边，若不等式恒成立，则的最大值为；点为△外接圆上的任意一点，当取得最大值时，的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知数列为正项数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．16.（15分）已知分别为△三个内角的对边，且．（1）求；（2）若△为锐角三角形，且有，求△面积的取值范围．17.（15分）如图，在正四棱柱中，底面边长是1，点分别在侧棱上，且四点共面．设直线、与平面所成的角分别为、．（1）设平面与平面相交于直线，求证：当时，；（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值的最大值．18.（17分）已知函数，．（1）求函数的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数的一条以上述一个定点为切点的切线；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，证明：．19.（17分）一般地，对于无穷数列：，我们称幂级数即为无穷数列的母函数， 例如：数列的母函数为．附公式：，其中．（1）已知数列，，，求无穷数列的母函数；（2）已知无穷数列的母函数为，记，请用表示数列的母函数；（3）已知数列，，记，求．