数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案BDCADADA1.【解析】∵z=1+i2025=1+i,故选B.2.易得A={x∣−3≤x≤1},B={x∣−20,gx单调递增;当x∈2,e2时,g′x<0,gx单调递减,∴gxmax=g2=ln2−1,gxmin=ge2=2−12e2,故选A.7.【解析】原式=32tan10∘+2sin10∘=3sin10∘2cos10∘+2sin10∘=3sin10∘+2sin10∘×2cos10∘2cos10∘=3sin10∘+2sin20∘2cos10∘=3sin10∘+2sin30∘−10∘2cos10∘=3sin10∘+2sin30∘cos10∘−cos30∘sin10∘2cos10∘=3sin10∘+cos10∘−3sin10∘2cos10∘=cos10∘2cos10∘=12,故选D.8.【解析】因为OP为∠APF2的平分线,所以∠APO=∠F2PO.又因为OP=OF2=c,所以∠OF2P=∠F2PO.设Px0,y0,因为点P在渐近线y=−bax上,所以y0=−bax0.因为OP=c,所以x02+y02=c,所以x02+b2a2x02=c,所以x02=a2.又点P在第二象限内,所以x0=−a,y0=b,所以点P的坐标为(-a,b),所以∠PAF2=π2,所以∠PAF2+3∠APO=π⇒∠APO=π6,所以∠POA=π3,所以−ba=tan2π3=−3⇒ba=3,故离心率为2,故选A.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案BCDABDACD9.【解析】对于A,设Mx,y,则MOMA=x2+y2x−32+y2=12,化简得x+12+y2=4,故A错误;对于B,设Px,y,不妨令Ax1,0,B0,y2,正方形ABCD的面积为16,则AB=4,因此x12+y22=16,由OP=34OA+12OB,可得x=34x1,y=12y2,即x1=43x,y2=2y,则4x32+2y2=16,整理得x29+y24=1,故B正确;对于C,如图所示,设斜率为25的直线方程为:y=25x+b,代入椭圆x25+y24=1中,消元整理得:24x2+20bx+25b2−100=0,线段AB的中点为M,设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0,则x1+x2 =−56b,x1x2=25b2−10024,所以y1+y2=25x1+b+25x2+b=25x1+x2+2b=25×−56b+2b=53b,所以x0=x1+x22=−512b,y0=y1+y22=56b,消去b得:y0=−2x0,所以线段AB的中点为M的轨迹方程为:y=−2x(椭圆内).法二:中点为M的轨迹方程也可通过点差法得到如图所示:再由点到直线的距离公式得线段MN的长度的最小值为255,故C正确;对于D,由题意点M是直线2x+y−3=0和双曲线5x2−5y24=1的唯一公共点,故D正确,故选BCD.10.【解析】对于A选项:可将四棱锥P−ABCD补形成正方体ABCD−PB′C′D′,如图①,直线AG即体对角线AC′,易证AC′⊥平面PBD,故A选项正确;对于B选项:易得∠APD=π4,故B选项正确;对于C选项:如图②,取CD的中点M,连接FM,可知FM//AC,所以∠GFM(或其补角)与直线FG和直线AC所成的角相同,在△FGM中,FG=GM=FM,所以∠GFM=π3,故C选项错误;对于D选项:如图③,延长EF交直线CD于点H,延长FE交直线BC于点I,连接GI交PB于点M,连接GH交PD于点N,则五边形EFNGM即为平面EFG截四棱锥P−ABCD所得的截面,由题可得△GIH的底IH=32,高GK=62(K为EF的中点),故S△GIH=12⋅32⋅62=332,分析可得△HFN的三边长HN=62,NF=22,FH=2,S△HFN=34=S△IME,故所求截面面积为SGMEFN=S△GIH−S△HFN−S△IME=332−2×34=3,故D选项正确,故选ABD.11.【解析】设直线ln:y=knx+1,联立x2−2nx+y2=0,得1+kn2x2+2kn2−2nx+kn2=0,则Δ=2kn2−2n2−41+kn2kn2=0,所以kn=n2n+1(负的舍去),xn2=kn21+kn2=n2n+12,即xn=nn+1,所以i=12025lnxi=ln12⋅23⋅34⋅⋯⋅20252026=−ln2026,故A正确;所以yn=knxn+1=n2n+1n+1,故B不正确;又∵1−xn1+xn=1−nn+11+nn+1=12n+1=xnyn,由4n2>4n2−1,即为2n−14n2<12n+1,即有2n−12n<2n−12n+1,x1x3x5⋯x2n−1=12×34×⋯×2n−12n<13×35×57×⋯×2n−12n+1=12n+1,可得x1x3x5⋯x2n−1<1−xn1+xn,故C正确;由于xnyn=12n+1=1−xn1+xn,可令函数fx=x−2sinx,则f′x=1−2cosx,令f′x=0,得cosx=22,给定区间0,π4,则有f′x<0,则函数fx在0,π4上单调递减,∴fx0,fx在0,+∞上单调递增,无极值,故a≥0不合题意;(7分)当a<0时,f′x=x+ax,f′x在(0,-a)上负,−a,+∞上正,所以fx在(0,-a)上单减,−a,+∞上单增,此时fx在x=−a处取得极小值.(9分)由题可知f−a≤−2a⇒a+aln−a+a2≤0⇒a+1+ln−a≥0.令ga=a+1+ln−a,a<0,g′a=1+1a=a+1a,g′a在−∞,−1上正,在(-1,0)上负,所以ga在−∞,−1上单增,在(-1,0)上单减,(11分)故ga≤g−1=0,因此ga=a+1+ln−a≥0,当且仅当a=−1时才能成立,即a=−1.(13分)16.(本小题满分15分)解:(1)由3sinB+2cos2B2=3⇒3sinB+cosB=2⇒2sinB+π6=2⇒sinB+π6=1.因为B∈0,π,所以B+π6=π2⇒B=π3,(3分)在△ABC中,因为b=5,a=3c,由余弦定理,得:b2=a2+c2−2accosB⇒25=9c2+c2−3c2⇒c2=257⇒c=577,(6分)所以△ABC的面积S△ABC=12acsinB=12⋅3c2⋅32=75328.(8分)(2)由5csinA=3a⇒5sinCsinA=3sinA,因为A∈0,π,sinA≠0,所以sinC=35.(10分)由csinC=asinA=bsinπ3=103⇒c=23,(12分)由余弦定理:b2=a2+c2−2accosB⇒25=a2+12−23a⇒a2−23a−13=0⇒a=3±4.因为a>0,所以a=3+4,所以△ABC的周长为a+b+c=3+4+5+23=9+33.(15分)17.(本小题满分15分)(1)证明:连接A1M,A1B=A1CM为BC中点}⇒BC⊥A1MAB=ACA1M为BC中点}⇒BC⊥AMA1M∩AM=M,A1M,AM⊆平面AA1M⇒BC⊥平面AA1M,(3分)BC⊥平面AA1M又BC⊆平面ABC⇒平面AA1M⊥平面ABC=平面ABC=AM,A1H⊥平面ABC(6分)(2)解:由于BB1//平面A1AC,所以VB1−A1AC=VB−A1AC=VA1−ABC=13S△ABC⋅A1H=33⋅A1H=182⇒A1H=26.(8分)由题可得AH=AA12−A1H2=23,HM=3,取AB靠近B的三等分点N,由题可知HA,HN,HA1两两相互垂直,如图,以HA,HN,HA1为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,由题给数据,易得:A23,0,0,B−3,3,0,E−3,2,0,A10,0,26,由AA1=BB1⇒B1−33,3,26.设平面BAB1的一个法向量为n1=x,y,z,n1⋅BA=0n1⋅BB1=0⇒3x−y=0x−2z=0⇒n1=2,6,1.(11分)设平面AB1E的一个法向量为n2=x,y,z,由n2⋅AE=0n2⋅AB1=0⇒33x−2y=05x−3y−22z=0⇒n2=42,66,1,(13分)记二面角B−AB1−E的平面角为θ,显然,θ为锐角,所以cosθ=n1⋅n2n1n2=8+36+13×249=524983.(15分)18.(本小题满分17分)解:(1)圆心M2a,a,由题得4a2=2paa+p2=r=4⇒a=2a=0舍,p=4,(2分)所以圆M:x−42+y−22=16;抛物线N:x2=8y.(4分)(2)假设存在常数λ满足题意,设AxA,xA28,BxB,xB28,CxC,xC28,由x2=8y⇒y=18x2⇒y′=x4,所以抛物线在点A处的切线斜率kA=xA4,方程为y−xA28=xA4x−xA⇒y=xA4x−xA28.同理:抛物线在B处的切线斜率kB=xB4,方程为y−xB2