湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含解析

2024年高二上学期数学月考试卷一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质，求出集合，利用一元二次不等式的解法，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由，得到，所以，由，得到，又，所以，得到，故选：C.2.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.【详解】由题意得，即，则．故选：A．3.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离.【详解】解：由，得，渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为.故选：B.4.已知数列中，，若，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得.【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，，则，即，因此数列是以为首项，为公差的等差数列.则，即，由，得，所以.故选：B5.如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则，由双曲线的定义得，，根据，列出方程求得，在直角中，利用勾股定理求得，进而求得双曲线的渐近线．【详解】设，则，由双曲线的定义得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即，整理得，则，双曲线的渐近线斜率为．故选：B．6.设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题：甲：；乙：的周长为8；丙：离心率为；丁：四边形的面积为.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解.【详解】依题意，作出椭圆的图象，如图，若甲为真命题，则；若乙为真命题：则的周长为，即；若丙为真命题，则离心率为；若丁为真命题，则四边形的面积为；当甲乙都为真时，有，解得，则，此时，，则丙和丁都是假命题；所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真；若甲、丙和丁为真，则，解得，此时满足，且，符合题意；若乙、丙和丁真，则，解得，此时，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立；综上，乙命题为假命题.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，进而分析得解.7.已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数，则最大值为（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律表示出，最后对、、分8种情况讨论，分别计算可得.【详解】因为不共线的平面向量、、两两的夹角相等，所以它们的夹角都为,因为，，，所以，，，所以因为、、，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，综上可得当或时，.故选：C.8.已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据以为直径的圆过原点可求得直线恒过定点，由四点共圆可知的最大值为该圆直径，进而求得结果.【详解】设点，点，其中，，以为直径的圆过原点，，解得：，易知直线的斜率不为，不妨设直线的方程为：，由化简整理得：，，解得：，直线恒过定点，，，四点共圆，即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为，的最大值为该圆的直径，即.故选：B．二、多选题（共20分）9.已知曲线，则（）A.的焦点在轴上 B.的短半轴长为C.的右焦点坐标为 D.的离心率为【答案】BCD【解析】【分析】曲线经过变形后可得椭圆标准方程，计算的值即可确定选项.【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为.由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误.由椭圆的标准方程为，得，故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确.椭圆的离心率，故选项D正确．故选：BCD．10.如图所示，已知，，，作以为直角顶点的等腰直角，作点和点的中点，继续作以为直角顶点的等腰直角，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是（）A.所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列B.第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为C.点的纵坐标为D.若记第个等腰直角三角形的面积为，则【答案】ABD【解析】【分析】由题意分析逐项判断即可.【详解】由图易知，所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列，故选项A正确；选项B，，故选项B正确；选项C，点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，故选项C错误；选项D，，故选项D正确.故选：ABD.11.已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（）A. B.最小值为4C.准线的方程为 D.以为直径的圆恒过定点，【答案】BCD【解析】【分析】对于A，将点代入抛物线方程中可求出的值；对于B，当为通径时，其取最小值；对于C，由于，从而可得准线方程；对于D，设直线的方程为，，，由题意可求出，，从而可得以为直径的圆的方程，整理后可得其过定点【详解】把点代入曲线可得，∴，故A错误；抛物线的方程为，把代入可得，∴，可知最小值为4，故B正确；准线的方程为，故C正确；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，联立可得，，，直线的方程为，同理直线的方程为，令，可得，，则以为直径的圆的方程为，整理可得，令，可得或，故圆过定点，．当直线的斜率不存在时，将直线的方程代入抛物线方程可得，，可得，，以点为直径的圆方程，显然过两定点，，选项D正确，故选：BCD．12.已知正方形的边长为2，点分别是线段上的动点，若满足，则下列说法正确的是（）A.当时，则B.当时，点分别是线段的中点C.当时，D.当时，的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出的坐标，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项作答.【详解】以点为坐标原点，分别为轴，轴建立平面直角坐标系，如图，设，，，由，得，则，对于A，当时，得，不能得，如取，，满足条件，A错误；对于B，当时，得，此时点分别是线段的中点，B正确；选项C，由选项B知，，，而，，C正确；选项D，当时，显然且，此时，否则或，矛盾，即有，而，因此，整理得，而，于是，当且仅当时取等号，整理得，令交于，显然与不重合，，，由共线，得，即，解得，即，的最小值为，D正确.故选：BCD三、填空题（共20分）13.数列满足，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，探讨数列的周期，进而求出所求值.【详解】数列中，，由，得，则，因此数列是以2为周期的周期数列，，所以，故答案为：14.从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为____________.【答案】【解析】【分析】根据组合数求所有的可能性，再求符合条件的可能，结合古典概型运算求解.【详解】从1，2，，11中任取三个不同的数，则不同的组合有共有种，能构成等差数列不同的组合的有种，所以这三个数可以构成等差数列的概率为.故答案为：.15.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________.【答案】##【解析】【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题.【详解】不妨将点置于第一象限.设是双曲线的右焦点，连接.分别为的中点，故.又由双曲线定义得，故.故答案为：16.已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】应用空间向量法，先求点的坐标，再分别表示，，化简，得出两条直线所成角的余弦值，再根据值域可得余弦范围.【详解】设正方形的中心为，过点作的垂线，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，设，可得，，所以，，，，因为，可得，可设，，设直线与所成角为，由，，则，令，可得，则，则，,可得．故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元应用二次函数值域，进而得出余弦值的范围.四、解答题（共70分）17.已知直线，且，（1）求的值；（2）直线过点与交于，，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；（2）根据两平行线间距离可判断垂直，利用斜率关系即可求解直线的斜率，进而可求解方程.【小问1详解】因为，所以，整理得，解得或．当时，，，符合题意，当时，，，与重合，不满足题意．综上，．【小问2详解】由（1）得，，所以两直线之间的距离为，而，所以直线与均垂直，由于，所以，故直线方程为18.已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为，列出方程求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程；（2）设点，得到直线的方程，设直线的方程为，点，根据，取得，得到直线的方程为，设，根据共线，求得，结合点到直线的距离公式，即可求解.【小问1详解】解：由双曲线，可得焦点，其中一条渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，解得，又由，可得，解得，故双曲线的标准方程为.【小问2详解】解：由双曲线，可得，设点，则直线的方程为，即，由题意，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，又由，可得，解得，即直线的方程为，设，由点共线，可得，即，得，即点，则点到直线的距离为.即点到直线的距离为定值.19.如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而得到，利用线面垂直的性质得到，进而得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，得到，即可求解.【小问1详解】在中，，，，由余弦定理，得到，解得，所以，得到，又，所以，即，又平面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以平面平面.【小问2详解】以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，，，则，则，设平面的一个法向量为，则，得到，取，得到，即，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，整理得到，解得，所以.【点睛】20.已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T．（1）求的方程和双曲线的渐近线方程；（2）设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；（3）设为上动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为（2）证明见解析（3）是，．【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解；（2）结合题意联立方程组和，化简即可求解；（3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明.【小问1详解】准线的方程为，双曲线的渐近线方程为．【小问2详解】联立方程组，消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取，又由，求得直线的方程为，联立方程组，消去得，因为，所以直线与抛物线相切．【小问3详解】因为，得准线为线段的中垂线，则直线与直线的倾斜角互补，即，设，由条件知，联立