湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析

2024年高一上学期数学月考试卷一、单选题（每题5分，共40分）1.以下选项中，是集合的元素的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】逐个验证即可.【详解】对于A：满足，对于B:，错误；对于C:，错误；对于D:，错误；故选：A2.若，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可.【详解】充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以，所以必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：.3.已知为正实数，且满足，则的最小值为（）A. B. C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值．【详解】根据题意，当且仅当，即时，等号成立．故选：C4.已知，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质求解即可.【详解】因为，，所以，，则，即的取值范围是.故选：C.5.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.【详解】由题意得，则，即，所以.故选：D.6.已知，则（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由题设得，化弦为切求目标式的值.【详解】由题设，又.故选：D7.已知，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用配方法可得答案.【详解】，其图象是对称轴为，开口向上的抛物线，所以当时，有最小值，为，当时，有最大值，为，则的取值范围为.故选：C.8.已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可.【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，函数的最大值，所以，舍去；当时，，符合题意；当时，，则或，解得或，综上，实数的取值范围是.故选：.【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析.二、多选题（共20分）9.已知正数满足，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断；对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断；对于选项C：利用基本不等式即可判断；对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；【详解】对于选项A：因，则，当且仅当，即时取等号，故选项A正确；对于选项B：，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；对于选项C：由选项A可知，所以，当且仅当，即时取等号，故选项C正确；对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误.故选：AC.10.以下说法正确的有（）A.设，则B.函数的图象与函数的图象关于直线对称C.若是偶函数，则D.函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点【答案】AC【解析】【分析】由对数、指数的运算可判断A，由函数图象平移可判断B，由偶函数的定义可判断C，通过反例可判断D.【详解】A，由，可得：，则，所以，A正确；B，函数和的图象关于直线对称，函数的图象可由的图象左移1个单位得到，函数图象可由的图象右移2个单位得到，所以函数和的图象关于直线对称，B错误；C，的定义域是，由于是偶函数，所以，即，所以，解得，经验证符合题意，C正确；D，函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上可能有零点，例如在，故D错误.故选：AC.11.若，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，可判断A；利用基本不等式的性质计算可判断BCD.【详解】因为，所以，所以，所以，故A错误；所以，所以，所以，则，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，故D错误.故选：BC.12.已知定义在上的奇函数满足，若，则（）A.4为的一个周期 B.的图象关于直线对称C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案.【详解】对于A：函数为奇函数，则，则，则的一个周期为4，故A正确；对于B：，则函数关于对称，故B正确；对于C：的一个周期为4，，令中的，则，函数为定义在上奇函数，，，故C正确；对于D：的一个周期为4，，函数为奇函数，，，故D错误；故选：ABC.三、填空题（共20分）13.弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__．【答案】【解析】【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积.【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为.故答案为：14.已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件得到，且在上大于等于0恒成立，即可得到答案.【详解】因为函数（且）在区间上单调递增，在上单调递减，所以，且在上大于等于0恒成立.所以.故答案为：15.已知函数，且时，，则的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】作出函数的图象，如图所示，因为时，，由图可知，，则，即，所以，所以，由函数关于对称，可得，所以，因为，所以，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，是解决本题的关键.16.已知，若方程有四个根且，则取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根且，由图象可知，，可得，则，设，所以，因为，所以，所以，所以，即，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.四、解答题（共70分）17.设集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围.【详解】，（1）时，，∴；（2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋，又且，∴，解得；【点睛】本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题.18.已知函数．（1）若函数的值域为，求a的取值范围；（2）是否存在，使在上单调递增，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得函数的值域包含，进而结合求解即可；（2）由题意可得函数在递减，且对于恒成立，进而列出不等式组求解即可.【小问1详解】由函数的值域为，则函数的值域包含，则，解得或，即a的取值范围为.【小问2详解】不存在，理由如下：由函数在上单调递增，则函数在递减，且对于恒成立，所以，无解，所以不存在，使在上单调递增.19.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，根据两角和的正切公式运算求解；（2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解.【小问1详解】∵，则，∴.【小问2详解】由（1）可得：，故.20.已知函数，（且），且.（1）求b的值，判断函数的奇偶性并说明理由；（2）当时，求不等式的解集；（3）若关于x的方程有两个不同的解，求实数m的取值范围.【答案】（1），函数为奇函数，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由解得b，由定义判断的奇偶性（2）由对数函数单调性解不等式（3）分析得，由参变分离法，原命题等价于有两个不同的解，令化简得，即可由数形结合法判断m的范围.【小问1详解】由得，故，.为奇函数，理由如下：定义域满足，即，又，故为奇函数.【小问2详解】，，即，即，解得.故不等式的解集为【小问3详解】的定义域为，，为增函数，∵，∴，∴.经检验不符合方程，故可化为，又，可化为，令，则.∵关于x的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点.∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在单调递增，，故当与的图象在有两个交点时，，即.故实数m的取值范围为.21.设矩形的周长为，其中.如图所示，为边上一动点，把四边形沿折叠，使得与交于点.设，.（1）若，将表示成的函数，并求定义域；（2）在（1）条件下，判断并证明的单调性；（3）求面积的最大值.【答案】（1），（2）上单调递增，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）通过几何关系确定，利用R的三边关系建立，的关系，再利用，进而确定的范围即可.（2）应用函数单调性的定义证明即可；（3）设，将面积表示为，适当变形应用基本不等式求解最值即可.【小问1详解】解：根据题意，由，得，由已知，故，又因为故在中，则，即，整理得又，则，故，，所以，定义域为.【小问2详解】解：因为，，任取，且，则因为，所以，，所以，即在上单调递增.【小问3详解】解：易知，当点位于点时，面积最大.此时再设，，那么，由得，，所以，的面积，令，则，，故，当且仅当，即，即时，等号成立，故当时，的面积的最大值为.22.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（3）解关于的不等式.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）在上是单调递增函数，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；（2）利用函数的单调性定义求解；（3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解.【小问1详解】是奇函数，理由如下：由题意可知，，因为的定义域为，且，所以是奇函数.【小问2详解】在上是单调递增函数.证明如下：任取，设，则.因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以在上是单调递增函数.【小问3详解】由（1）（2）知是上单调递增的奇函数，所以在上单调递增，所以，可以转化为，可化为，即，①当时，不等式为，这时解集为；②当时，解不等式得到；③当时，解不等式得到.综上，当时，解集；当时，解集为；当时，解集为.