甘肃省西北师范大学附属中学2025届高三上学期一模诊断考试数学答案

2024年甘肃省西北师大附中高三一模诊断考试试卷数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数是方程的一个根，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】代入方程，即可得参数值.【详解】由复数是方程的一个根，得，解得，故选：D.2.设平面向量，，且，则=（）A.1 B.14 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解.【详解】因为，所以又，则所以，则，故选：3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对两式进行平方，进而可求出值，根据二倍角公式求出结论.【详解】解：因为，，所以平方得，，，即，，两式相加可得，即，故，.故选：D.4.2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A.1800 B.1080 C.720 D.360【答案】B【解析】【分析】分恰有个部门所选的旅游地相同、四个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.【详解】①恰有个部门所选的旅游地相同，第一步，先将选相同的个部门取出，有种；第二步，从个旅游地中选出个排序，有种，根据分步计数原理可得，方法有种；②四个部门所选的旅游地都不相同的方法有种，根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．故选：B5.设椭圆C：的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：与C有四个公共点，依次连接这四点组成一个正方形，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知点在椭圆C上可得答案；方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，利用勾股定理、椭圆定义可得答案.【详解】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知，点在椭圆C上，则，将代入并化简得，因为，解得.方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，所以，，，又因为，所以，所以.故选：D.6.以下四个命题，其中正确的个数有（    ）①经验回归直线必过样本中心点；②在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位；③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；④在一个列联表中，由计算得，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中）．A.1个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】D【解析】【分析】由线性回归方程性质可判断AB选项正误；由独立性检验定义可判断CD选项正误.【详解】A选项，线性回归方程必过，故①正确；B选项，当变量x每增加一个单位时，变量平均减少03个单位，故②错误；C选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为，并不指某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误；D选项，由独立性检验知识可知当，时，可认为99.9%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确.故选：D7.已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算.【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，此时，即，则；若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，此时，，即，则，综上可得：的取值范围是，故选:B．8.函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（）A.9 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得.【详解】由的图象恒过定点，可得，，则；因，当且仅当时等号成立，由，可解得，故当时，的最小值为8.故选：B.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：，.则下列说法正确的有（）A.中位数为90，平均数为89B.分位数为93C.极差为30，标准差为58D.去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数、方差、标准差、中位数和极差的概念，逐项进行计算验证即可求解.【详解】对于A，由题意中位数为，平均数为，故A正确；对于B，因为，所以分位数为，故B正确；对于C，极差为，方差，所以标准差，故C错误；对于D，去掉一个最低分和一个最高分，则平均数为，方差为，所以去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小，故D正确.故选：ABD.10.如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.的最小值为C.平面D.当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为【答案】AC【解析】【分析】对于,利用，即可证明；对于,将沿展开与正方形在同一个平面内，则当三点共线时，取得最小值,即可求解；对于,利用线面平行的判断定理即可证明；对于,根据题中条件首先得到截面图形，进一步求解计算即可.【详解】由题意可知，设点到平面的距离为，易知平面平面，所以点到平面的距离等于点到线段的距离，又，所以，所以，为定值，故A正确；将沿展开与正方形在同一个平面内，记此时与对应的点为，则当三点共线时，取得最小值，即，，故最小值为，故B错误；由点分别为的中点，得，又平面平面，所以平面，故C正确；连接并延长交于点，连接，则过点的平面截正三棱柱所得截面图形为，因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，取的中点，连接，则点为的中点，又点为的中点，所以，当时，点为的中点，所以，所以，所以，所以，所以，故，故D错误．故选：11.已知直线及圆，则（）A.直线过定点B.直线截圆所得弦长最小值为2C.存在，使得直线与圆相切D.存在，使得圆关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】A选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当时，直线截圆所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点在圆内，故C错误；D选项，当直线过圆心时，满足题意，代入计算即可.【详解】A选项，由，得，解得，所以直线过定点为，故A正确；B选项，由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时，直线截圆所得弦长最短，因，则最短弦长为，故B正确；C选项，，故点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误；D选项，当直线过圆心时，满足题意，此时，解得，故D正确.故选：ABD.三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.【详解】因为，则有：当时，可得，解得；当时，可得，则，解得；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.13.我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为______立方尺（注：1丈尺）【答案】3892【解析】【分析】画出图形，由平行线段成比例求出正四棱台的高，然后由棱台体积公式直接计算即可求解.【详解】按如图所示方式取截正四棱锥，分别为上、下底面正方形的中心，分别为的中点，正四棱锥的下底边长为二丈，即尺，高三丈，即尺；截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，所以，所以由可知，有，解得，所以该正四棱台的体积是（立方尺）．故答案为：3892.14.已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：①的值可能是3；②的最小正周期可能是；③在区间上单调递减；④图象的对称轴可能是.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②③【解析】【分析】由题意，结合角的范围可得，求出的范围可判断①，利用三角函数的周期公式可判断②，利用三角函数的性质可判断③④.【详解】函数，，，函数在区间上有且仅有3个对称中心，则，，即的取值范围是，而，故①正确；周期，由，得，，的最小正周期可能是，故②正确；，，，，又，在区间上单调递减，故③正确；当，即，又，，当时，，当时，，故④不正确.故答案为：①②③.四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数的最小正周期为．（1）求的值，并写出的对称轴方程；（2）在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数，再根据周期求出的值,利用整体法即可求解对称轴.（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得，故，故，根据正弦函数的定义域和值域求出的取值范围．【小问1详解】．，．故令，解得，故对称轴方程为：【小问2详解】由得，．，，,．，，，16.在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且．（1）求；（2）若的面积是，，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解；（2）利用面积公式、余弦定理运算求解.【小问1详解】由，可得到，即．因为，所以，故．【小问2详解】由，可得，因为，所以，则．由余弦定理得，即，所以，故的周长是．17.如图，在三棱锥中，平面，，.（1）求点到平面的距离；（2）设点为线段的中点，求二面角的正弦值.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质，勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为平面，又平面，平面，所以，又，由勾股定理得，又，所以，故，因为，平面，所以平面，则为点到平面的距离，故点到平面的距离为2.【小问2详解】在平面内过点作的平行线，则，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由勾股定理得：，则，，设平面的法向量为，则，即，取，则，设平面的法向量为，则即，取，则，所以，记二面角的大小为，则，故二面角的正弦值为.18.已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.（1）求的方程；（2）是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1）（2）直线与圆相交，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可.（2）设，由点在圆上，得出，由的坐标，得出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，得点坐标，同理可得点坐标.从而得到直线方程，通过直线过定点，，从而得出点在圆内，故直线与圆相交.【小问1详解】因为的离心率为，所以，所以，渐近线方程，因为点到一条渐近线距离为，所以，解得，所以的方程为.【小问2详解】直线与圆相交，理由如下：设，则，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，即，由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立，消去得，，因为直线与都有除以外的公共点，所以，所以，