河南省南阳市2022-2023学年高三上学期1月期末数学（理）试题

2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合，，则＝（）A．［－1，3] B． C．（0，2] D．（0，3]2．已知复数z满足，则（）A．1 B． C． D．23．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）A． B． C． D．4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影是（）A． B．－1 C．1 D．5．已知，，若，，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点M在C的右支上，直线与C的左支交于点N，若，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．7．设f（x）是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，令g（x）＝f（x）＋f（x＋1），则函数y＝g（x）的最大值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－28．已知函数在上单调递增，且恒成立，则的值为（）A．2 B． C．1 D．9．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于点A，B（A在x轴上方），与抛物线准线交于点M．若|BM|＝2|BF|，则直线l的倾斜角为（）A．60° B．30°或150° C．30° D．60°或120°10．对于函数，，下列说法正确的是（）A．函数f（x）有唯一的极大值点 B．函数f（x）有唯一的极小值点C．函数f（x）有最大值没有最小值 D．函数f（x）有最小值没有最大值11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（）A．5052 B．5057 C．5058 D．506312．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，若点P为的费马点，则（）A．－6 B．－4 C．－3 D．－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）14．如图，△ABC内接于椭圆，其中A与椭圆右顶点重合，边BC过椭圆中心O，若AC边上中线BM恰好过椭圆右焦点F，则该椭圆的离心率为______．15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为______．16．已知函数的值域为，则实数m取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）17．（本题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求取得最大值时的n．18．（本题满分12分）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，，PB⊥底面ABCD，，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PAB；（2）设Q为l上的动点，求PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值．20．（本题满分12分）已知函数．（1）当a＝1时，求证：；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．21．（本题满分12分）已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点A（1，－1）在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；（2）若点A，B为曲线C上的两个点且，求证：为定值．23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知存在，使得成立，a，．（1）求a＋2b的取值范围；（2）求的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案ABABBDADDABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．15014． 15．16．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）当时，，解得：或者，因为，故．方法一：因为，所以，又，即可得．方法二：当时，，易得：．因为数列是等差数列，故．（2）由（1）知，，故．，当时，；当时，；当n>7时，；故数列的最大项为，，即或818．【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，由题意得：，，甲的得分X的可能取值为－1，0，1，， ，所以的分布列为：01P所以（2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种；分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分；或者甲第1轮得1分，第2轮得0分；或者甲两轮各得1分，于是：19．【解析】（1）证明：因为底面，所以．又底面为直角梯形，且，所以．因此平面．因为，平面，所以平面．又由题平面与平面的交线为，所以，故平面．（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由（1）可设，则．设是平面的法向量，则，即，可取所以．设与平面所成角为，则；因此：当时，可得（当且仅当时等号成立）又当时，易知不符合题意．所以与平面所成角的正弦值的最大值为．20．【解析】（1）故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．所以，即（2）当a＝0时，，不存在零点当时，由得，设，则令，易知在上是单调减少的，且．故在上是单调增加的，在上是单调减少的．由于，，且当时，故若函数有且只有一个零点，则只须或即当时，函数有且只有一个零点．21．【解析】（1）由题意知：，即，又由椭圆定义可得：，又∵，且，故可得：，，．即椭圆：的方程为：（2）延长交椭圆于点，由，根据椭圆的对称性可得．设，，则．显然，．设直线的方程为，联立得，，∴①②又，得③由①②③得，．得直线的方程为，即，设到直线的距离为，则由距离公式得：，又由弦长公式得：将代入上式得，设四边形的面积为，易知【选做题】22．【解析】（1）因为，所以曲线的直角坐标方程为．因为，，所以，曲线的极坐标方程为：（2）由于，故可设，，，所以．即为定值23．【解析】（1）由题知：，因为存在，使得，所以只需，即的取值范围是．（2）方法一：由（1）知，因为，不妨设，当时，，当时，有，整理得，，此时的最小值为；综上：的最小值为．方法二：令，不妨设，，因为，所以，所以：，即的最小值为．