高二数学试卷参考答案!!#!由题意可得$!!%!&!向量!$'%#!$$(%#与向量!#!'#共面!不能构成空间的一个基底!)!#!因为!!##!!所以##!又$!!$$!所以##!##$!!$平行或异面!%,'!%槡%*!+!圆%的半径&$%!圆心%,!!#!则圆心%到直线#的距离'$$!故%()%$槡%%%槡&%''%$槡!*!-!.!解法一$作)*+##于点+!且)*+$),!连接)*)!)*(!!()*$(+%()*+%'%(+%)*+/01$槡)!!槡)+,$)*)$槡()%'()*%$槡%2!''&''&!!''&''&''&''&解法二$由(+##!),##!得/01&+(!,)'$/01$!+(%+,$,!),%+,$,!因为)%''&''&''&''&''&''&''&''&''&''&''&()$(+(+,(,)!所以()%$(+%(+,%(,)%(%(+%,)!则%槡!-#%$-%(+,%(!''&%(%3-33'!解得+,%$%2!+,$槡%2!%#槡)!.!该正二十面体一个面的面积为!设该正二十面体的内切球的半径为&!则该正二十面*!槡)!-(--槡)槡)(槡!-体的体积为%,33&$!解得&$!)*!%!%%01%%0)%%-.%4!+!过点-作-.#/轴!垂足为.!由题意可得$!$%-.%%).%%02%!3%(.%%4%-.%4'%0.%%0.%!所以$!$!两式相乘可得$%(0%%-.%4(%0.%%344)%-.%4'%0.%%*3!所以$$!则%-.%$!-%34--''&5!+!建立如图所示的空间直角坐标系!则(*!,!,#!-*!%!,#!.!!*!,#!1,!*!%#!-.$''&')!%!,#!-1$'*!%!%#!设平面-.1的法向量为%$/!5!6#!''&)-.%%$,!')/(%5$,!则即(''&*-1%%$,!('*/(%5(%6$,!令/$%!可得%$%!)!!#!!高二数学参考答案!第!!!页#共页$%!#!$%&!!&!{#{QQABJQYEggggAAAAARgCAwVgCEOQkgCACagOhEAMsAAByAFABAA=}#}书''&设7,!!$#!则(7$'*!!$#!''&因为直线(7与平面-.1没有公共点!所以(7平面-.1!则(7#%!所以'5()($$,!即$$5')!(7$槡!(%($%$槡!(%(5')#%$槡!,%'*5(5,!!%!%%!%*槡)-当$时!(7取得最小值!最小值为!,3'*53(5,$!-槡-#--''&''&''&''&''&2!#&+!()$'!!'!!)#!(+$')!,!'!#!+)$%!'!!*#!%()%$槡!!!%(+%$槡!,!''&''&''&%+)%$槡%!!#正确!因为()%(+$,!所以()#(+!&正确!''&''&()%+)!!槡%)!/01+()+$''&''&$$!.错误!%()%%+)%槡!!3槡%!%!!''&''&槡!!,,()+的面积为%()%%(+%$!+正确!%%%!,!#+!如图!正四面体的两条高分别为(-!).!)-$)1$%)槡!(-$)槡()%')-%$%槡!#正确!正四面体两条高的夹角即为两个侧面所成-1-1!的角!即+(1)!/01+(1)$$$!所以正四面体两条高的夹(1)1)!角的余弦值为!+正确!)))))/(5$)/5!!!!&.+!因为叶形线+$/)(5)$4/5经过点(!#!所以4$)!联立解%%(5$'/!得/$5$,!所以直线5$'/与+只有!个公共点!#错误!/)(5)$)/5$/(5#/%%%%'/5(5#$/(5#)/(5#')/5*!因为点7在第二象限!所以/,5,-,!/,(5,#')/,5,)/,5,.,!所以/,(5,$%-,!&正确!/,(5,#')/,5,同理可得!若点7在第四象限!则/,(5,-,!因为/)(5)$)/5$/(5#/%'/5(5%#$/(5#)/(5#%')/5*$/(5#)'))/5/(5#!所以)/5/(5(!#$/(5#!当点7在第二+四象限时!/,(5,(!$)/,(5,#.,!所以/,(5,.'!!)/,5,当点7是原点或在第一象限时!易得/,(5,.'!!所以/,(5,.'!!.正确!)%)/(5#/(5由)/5/(5(!#$/(5#!可得)/5$/)!解得/(5/)!所以/,(/(5(!%#5,/)!+正确!!高二数学参考答案!第!!%页#共页$%!#!$%&!!&!{#{QQABJQYEggggAAAAARgCAwVgCEOQkgCACagOhEAMsAAByAFABAA=}#}!%!)!圆+!与圆+%外切!与圆+!!+%都相切的直线有)条!!)!,!,%!设该椭圆的长轴长为%4!焦距为%8!由题意可得4(8$!!-)3!,5!4'8$!!*438!,5!解得4$!!-3!,5!8$,!,)3!,5!所以这个椭圆的离心率9$$,!,%!4*槡%!!*!*,!连接(,!).!设其交点为0!由正六棱柱的性质知!(,#).!且0)$0.!取4)!.!的中点7!连接07!则07#平面()+,-.!以0为坐标原点!0)!0,!07所在直线分别为/轴+5轴+6轴建立空间直角坐标系!因为((!$%()$*!%!:分别为--!!))!的中点!所以(,!''&'!!,#!+槡)!%!,#!%')槡!%!%#!:槡)!,!%#!则(+$槡)!)!''&''&,#!+%$'%)槡!,!%#!+:$,!'%!%#!设平面+%:的法向量为$$/!5!6#!''&)$%+%$'%)槡/(%6$,!槡)则(令5$!!则$$!!!!!''&)#*$%+:$'%5(%6$,!''&设1,!)!4#!则+1$')槡!!!4#!''&槡)由+1%$$'槡)3(!(4$,!解得4$,!又,!,!)!*#!所以,!1$*!)''&%(+%$%*槡%!点(到平面+%:的距离'$$!%$%4!!-!解$!#设+!,#!因为+()+$!所以()#)+!则;()%;)+$'!!-----%分%'!'%%',%因为;()$$)!;)+$$'!--------------*分')''%#'%'%(%所以)3'$'!!解得$*!则+*!,#!----------------分%(#%#%()%$槡!,!%)+%$%槡!,!!,()+的面积为%%()%%%)+%$!,!------------------2分%!!)#记(+的中点为-!则-!'!-------------------!,分%%#!%''%#直线)-的斜率为$'!!直线)-的方程为5$'/(%#(%!即/(5$,!!'%'%!高二数学参考答案!第!!)页#共页$%!#!$%&!!&!{#{QQABJQYEggggAAAAARgCAwVgCEOQkgCACagOhEAMsAAByAFABAA=}#}所以斜边上的中线所在直线的方程为/(5$,!---------------!)分!!解$!#直线#恒过点%!!#!------------------------*分%#圆+的圆心为+%!!#!%)3%(*3!'%,%圆+的半径&$$%!-------------------4分槡)%(*%所以圆+的标准方程为/'%#%(5'!#%$*!----------------2分)#当直线()与直线+,垂直时!%()%取最小值!--------------!%分%%%+,%$!!%()%678$%槡&'%+,%$%)槡!即%()%的最小值为%)槡!------!-分!*!4!解$设()$4!则7($(,$%4!该四棱锥的体积为%4%%4%%4$!))解得4$!!即()$!!7($(,$%!---------------------%分以(为坐标原点!建立如图所示的空间直角坐标系!则)!!,!,#!+!!%!,#!7,!,!%#!''&''&''&,,!%!,#!()$!!,!,#!+7$'!!'%!%#!7,$,!%!'%#!---------*分''&''&''&!#设+-$#+7$'#!'%#!%##!则-!'#!%'%#!%##!(-$!'#!%'%#!%##!--------------------------------------分''&''&!若(-#7,!则(-%7,$*'5#$,!解得#$!即-为7+的中点!------4分%!!)连接(+!在9:,7(+中!(-$7+$槡7(%((+%$!----------2分%%%!''&!''&%#由!#得-!!!!!(-$!!!!!)+$,!%!,#!%#%#设平面()-的法向量为$$/!!5!!6!#!''&)/!$,!)()%$$,!则即取!得!!#(''&(!5!$!$$,!'!!*(-%$$,!/!(5!(6!$,!*%-------------------------!!分设平面7)-的法向量为!$/%!5%!6%#!''&))+%!$,!%5%$,!则(即取6%$!!得!$%!,!!#!-------!)分''&(!*+7%!$,!'/%'%5%(%6%$,设二面角7<)-<(的大小为$!$%!槡!,)槡!,则%/01$%$%/01&$!!'%$$!所以178$$!%$%%!%!,!,)槡!,所以二面角7<)-<(的正弦值为!------------------!-分!,!高二数学参考答案!第!!*页#共页$%!#!$%&!!&!{#{QQABJQYEggggAAAAARgCAwVgCEOQkgCACagOhEAMsAAByAFABAA=}#}!5!!#解$因为(,!'%)槡#是椭圆+的一个顶点!所以4$%)槡!----------!分当点7与+的左顶点或右顶点重合时!,7.!.%的面积最大!其为等边三角形!满足3$槡)8!又因为4%$3%(8%!所以3$)!8$槡)!------------------)分5%/%故椭圆+的标准方程为($!!---------------------*分!%2%#证明$设直线(7的方程为5$;/'%)槡;0,#!%/,!5,#!7/!!5!#!-----分)5%/%($!!!%2%%%!%)槡;由(得);(*#/'!%)槡;/$,!%$*)%;.,!/!$!----4分);%(**5$;/'%)槡!/!(,)槡;'5)槡)槡;'5)槡所以/,$$!5,$;/,'%)$槡!即点%!!--2分%);%(*);%(*);%(*);%(*#*所以直线0%的方程为5$'/!);令5$*)槡!得,'))槡;!*)槡#!---------------------!!分又0-(7!所以直线0-的方程为5$;/!*)槡令5$*)槡!得-!*)槡!-----------------------!)分;#延长-.!交0,于:!延长,.!交0-于2图略#!''&''&*)槡由-.!%0,$'!'))槡%'))槡;!*)槡#$,!得-.!#0,!则+.!:,$2,;!-;#----------------------------------!-分''&''&*)槡同理由,.!%0-$))槡;!'))槡#%!*)槡$,!得,.!#0-!则+.!2-$2,;!-;#----------------------------------!分因为+0-.!$2,;'+-.!2!+0,.!$2,;'+,.!:!显然+-.!2$+,.!:!所以+0-.!$+0,.!!-------------------------!4分!2!解$!#由条件知!=是一个长为%!宽为-!高为%的长方体!则体积>$%3-3%$%,!-------------------------*分''&%#直线#!过点2*!!!,#!方向向量为&$)!%!!#!2?$'!!!!'%#!------分设平面的法向量为$$/!!5!!6!#!)$%&$,!)/!(%5!(6!$,!则(即取6!$!!得$$'!!!!!#!-------4分''&(!*$%2
四川省部分学校2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题答案
2025-01-14
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