衡阳县四中2025届高三第一学期期末考试数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合A=x|log2x−1<2,B={x|x<5}，则（ ）A．A=B B．B⊆A C．A⊆B D．A∩B=∅2．已知复数z=3+4i4−3i，则z=（ ）A．2 B．1 C．5 D．553．“b≤1”是“函数f(x)=bx+2,x>0,log2(x+2)+b,−2b>0的左右焦点，F1F2=4，点Q2,2在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则PQ⋅PF1的最大值为（ ）A．4 B．92 C．5 D．4+26．将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种.A．4 B．5 C．6 D．87．已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为3，高为23，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ）A．32π3 B．43π C．6π D．8π38．已知MN是圆O:x2+y2=4的一条弦，∠MON=60°，P是MN的中点.当弦MN在圆O上运动时，直线l:y=x−4上总存在两点A,B，使得∠APB为钝角，则AB的取值范围是（ ）A．0,42−23 B．42−23,+∞C．0,42+23 D．42+23,+∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．ω=2B．fx的图象关于点−2π3,0对称C．将函数y=2cos2x+π3的图象向右平移π2个单位得到函数fx的图象D．若方程fx=m在0,π2上有且只有一个实数根，则m的取值范围是−3,310．若数列Fn满足F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fnn∈N∗，设an=(−1)FnFn+1，则（ ）A．a4=1B．a2024+a2025=2C．an=an+3D．若数列an的前n项和为30，则n=90或n=9211．如图，若正方体ABCD−EFGH的棱长为1，点M是正方体的侧面ADHE上的一个动点（含边界），P是棱CG上靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有（ ） A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为343B．若PM⊥BH，点M的运动轨迹是线段C．若PM=133，则点M在侧面ADHE内运动路径长度为29πD．当点M与点D重合时，三棱锥B−MEP的体积最大第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若函数fx=12f'−1x2−2x+1，则f'−1=.13．关于x的不等式mx2−x+1<0的解集为xab>c>0的左､右焦点分别为F1,F2，若以F2为圆心，b−c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为32a−c，则椭圆的离心率e是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinC−3sinBsinA+sinB=a−bc.(1)求角A的大小；(2)若2sinAsinB=1+cosC，△ABC外接圆半径为2，∠BAC的角平分线与BC交于点D.求AD的长.16．（15分）已知数列an满足2an+1−2an=a1，且a2=3，其前n项和记为Sn．(1)求an的通项公式；(2)记数列1Sn的前n项和为Tn，求证：Tn<119．17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边为AD的等腰直角三角形，AB⊥AD,AB=1,AD=4,AC=CD=22. (1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为55?若存在，求出PMPB的值，若不存在，请说明理由.18．（17分）已知fx=ex⋅sinx−x.(1)若gx=2−2x−fxex00且1+b≤2，即00,log2(x+2)+b,−23,此时V=43πR3>43π.故选:A.8．【答案】D【解析】由题意可知：圆O:x2+y2=4的圆心为O0,0，半径R=2，因为∠MON=60°，则OP=Rcos30°=3，可知点P的轨迹是以O0,0为圆心，半径r=3的圆C:x2+y2=3，设AB的中点为E，因为∠APB为钝角，可知圆C在以AB为直径的圆E内，可得OE<12AB−3⇒AB>2OE+23，因为O0,0到直线l:x−y−4=0的距离d=42=22，可知OE≥d=22，可得AB>2OE+23≥42+23，所以AB>42+23，所以AB的取值范围是42+23,+∞.故选：D.9．【答案】AB【解析】由函数图象可得A=2，由14⋅2πω=π3−π12，解得ω=2，故A正确；所以fx=2sin2x+φ，又函数过点π12,2，即fπ12=2sinπ6+φ=2，所以π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ+π3，k∈Z，又φ<π2，所以φ=π3，∴fx=2sin2x+π3，对于B：当x=−2π3时，f−2π3=2sin−2×2π3+π3=2sin−π=0，所以fx的图象关于点−2π3,0对称，故B正确；对于C：将函数y=2cos2x+π3的图象向右平移π2个单位得到：y=2cos2x−π2+π3=2cos2x−2π3=2sin2x−π6，故C错误；对于D：当x∈0,π2时，2x+π3∈π3,4π3，令π3≤2x+π3≤π2，解得0≤x≤π12，所以fx在0,π12上单调递增，令π2≤2x+π3≤4π3，解得π12≤x≤π2，所以fx在π12,π2上单调递减，又f0=2sinπ3=3，fπ12=2sinπ2=2，fπ2=2sinπ+π3=−3，故方程fx=m在0,π2上有且只有一个实数根时，则m的取值范围是−3,3∪2，故D错误．故选：AB.10．【答案】BC【解析】对于A，因为an=(−1)FnFn+1，所以a4=(−1)F4F5，因为F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fnn∈N∗，所以F3=F2+F1=1+1=2，F4=F3+F2=2+1=3，F5=F4+F3=3+2=5，所以F4F5=3×5=15，所以a4=(−1)15=−1，故A错误；对于B，因为Fn的前两项为奇数，奇数与奇数的和为偶数，偶数与奇数的和为奇数，所以Fn的各项为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶⋯，所以FnFn+1为奇偶偶，奇偶偶，奇偶偶⋯，因为an=(−1)FnFn+1，所以an各项为−1,1,1,−1,1,1,−1,1,1,⋯，周期为3，其中2024=3×674+2，2025=3×675，所以a2024=1，a2025=1，所以a2024+a2025=2，故B正确；对于C，因为an各项为−1,1,1,−1,1,1,−1,1,1,⋯，周期为3，所以an=an+3，故C正确；对于D，因为an各项为−1,1,1,−1,1,1,−1,1,1,⋯，周期为3，所以a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=1，⋯，则每组和值为1，若数列数列an的前n项和为30，即a1+a2+⋯an=30，所以n=90，n=92或n=94，故D错误，故选：BC.11．【答案】ABD【解析】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，连接AP， 则AP=AD2