福建省部分（六市）地市2025届高中毕业班第一次质量检测（六市一模）数学解析

厦门市2025届高中毕业班第一次质量检测数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,i1+i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】易知i1+i=i−1,所以i1+i对应的点为(1,-1),位于第二象限,故选B.2.设集合A=x∈N 1010−x∈N,B={0,1,2,3,4,5},则A∩B=A.{0,5}B.{2,5}C.{0,1,5}D.{1,3,5}【答案】A【解析】易知集合A={0,5,8,9},所以A∩B={0,5},故选A.3.已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1,则C的焦距为A.2B.2C.22D.4【答案】C【解析】设等轴双曲线的焦距为2c,因为焦点到其渐近线的距离为b=1,所以c=2,双曲线的焦距为22,故选C.4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,α∩β=n,则下列说法正确的是A.若m//α,则m//nB.若m//n,则m//αC.若m⊥n,则m⊥βD.若m⊥β,则m⊥n【答案】D【解析】若m//α,则m,n平行或异面,A选项错误;若m//n,则m//α或m⊂α,B选项错误;若m⊥n,则m,β不一定垂直,也可能平行或相交,C选项错误;若m⊥β,则m⊥n,D选项正确;故选D.5.已知随机变量X∼N1,σ2,若PX≤a=0.3,且Pa≤X≤a+2=0.4,则a=A.-1B.−12C.0D.12【答案】C【解析】如图所示,PX≥a+2=0.3,所以a+a+2=2×1,解得a=0,故选C.6.已知0<α<π2,若tanα+π4=2sinα+cosα,则sin2α=A.13B.12C.34D.45【答案】C【解析】tanα+π4=1+tanα1−tanα=sinα+cosαcosα−sinα=2sinα+cosα,因为sinα+cosα≠0,所以cosα−sinα=12,cosα−sinα2=1−sin2α=14,解得sin2α=34,故选C.7.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点,交直线x=−1于点P,若PA=AB,则△OAF与△OBF的面积之比为A.14B.12C.34D.1【答案】B【解析】易知x=−1为C的准线,过A,B分别作x=−1的垂线,垂足分别为M,N,因为PA=AB,所以2AM=BN,即2AF=BF,所以△OAF与△OBF的面积之比为12,故选B.8.若函数fx=lneax−6+1−x的图象关于直线x=3对称,则fx的值域为A.[ln2−3,0)B.[ln2−3,+∞)C.[ln3−2,0)D.[ln3−2,+∞)【答案】B【解析】fx=lneax−6+1−x=lnea−1x−6+e−x,依题意,f0=f6,所以lne−6+e0=lne6a−6+e−6,所以e−6+e0=e6a−12+e−6,解得a=2,所以fx=lnex−6+e−x,因为ex−6+e−x≥2ex−6×e−x=2e3,所以fx≥2−ln3,故选B.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知平面向量a=2,sinθ,b=1,cosθ,则A.a,b不可能垂直B.a,b不可能共线C.a+b不可能为5D.若θ=π2,则a在b方向上的投影向量为2b【答案】ACD【解析】a⋅b=2+sinθcosθ≥2−12=32,A选项正确；若向量a,b共线,则2cosθ−sinθ=0,解得tanθ=2,所以向量a,b可能共线,B选项错误;a+b=3,sinθ+cosθ,所以a+b=9+sinθ+cosθ2≤11<5,C选项正确；若θ=π2,则a=2,1,b=1,0,所以a在b方向上的投影向量为aba⋅bb=2b,D选项正确;综上所述,应选ACD.10.药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤.在某新药的临床实验中,志愿者摄入一定量药物后,在较短时间内,血液中药物浓度将达到峰值,当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时,需要立刻补充药物.已知某药物的峰值浓度为120mg/L,为探究某药物在人体中的代谢情况,研究人员统计了血液中药物浓度ymg/L与代谢时间xℎ的相关数据,如下表所示:x012345678x=4y120110103938268594738y=80已知根据表中数据可得到经验回归方程y=−10.5x+a,则A.a=122B.变量y与x的相关系数r>0C.当x=5时,残差为-1.5D.代谢约10小时后才需要补充药物【答案】AC【解析】因为样本中心点(4,80)在直线y=−10.5x+a上,所以a=80+4×10.5=122,A选项正确；血液中药物浓度ymg/L随代谢时间xℎ的增大而减小,所以变量y与x的相关系数r>0,B选项错误;当x=5时,y=−10.5×5+122=69.5,残差为68−69.5=−1.5,C选项正确;令−10.5×x+122=120×0.2,解得x≈9.33,D选项错误;综上所述,应选AC.11.已知定义在0,+∞上的函数fx满足fx+1=2fx+x,其中x表示不超过x的最大整数,如1.9=1,3=3.当00,φ<π的图象经过2π3,12,4π3,−12两点,若fx在区间2π3,4π3上单调递减,则ω=_____；φ=_____.【答案】12;π2(第一空3分,第二空2分)【解析】依题意,fπ=0,所以sinωπ+φ=0sinω2π3+φ=12,即ωπ+φ=2k+1πω2π3+φ=2k+1π−π6,解得ω=12,所以π2+φ=2k+1π,因为φ<π,所以φ=π2,应填12,π2;14.从集合U={1,2,3,4}的所有非空子集中任选两个,则选中的两个子集的交集为空集的概率为_____.【答案】521【解析】设A⊆U,B⊆U,且A∩B=⌀,易知集合U的非空子集个数为24−1=15,任取两个集合A,B共有C152=105种选法.(方法一)①若cardA∪B=2,则共有C42=6种选法.;②若cardA∪B=3,从4个元素里选3个,再分成两组(不平均),有C43C31=12种选法;③若cardA∪B=4,4个元素平均分为两组共有C42A22=3种；不平均分组共有C31=3种,小计共有7种选法;所以选中的两个子集的交集为空集的概率为P=6+12+7105=521.(方法二)①当cardA=1时,4个元素里任选一个放入集合A中,集合B共有23−1=7种情况,故有C41×7=28种情况;②当cardA=2时,4个元素里任选两个放入集合A中,集合B共有22−1=3种情况,故有C42×3=18种情况;③当cardA=3时,4个元素里任选三个放入集合A中,集合B共有21−1=1种情况,故有C43×1=4种情况;总共有1228+18+4=25种情况,所以选中的两个子集的交集为空集的概率为P=25105=521.(方法三)对于集合U中的任意元素x均有x∈A,且x∉B;x∈B,且x∉A;x∉A∪B这三种选法,再减去集合A,B其中一个为空集的情况,故共有1234−24−24+1=25种,所以选中的两个子集的交集为空集的概率为P=25105=521.应填521;四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC=2b−ccosA.(1)求A;(2)设D为边AB的中点,若c=2,且sin∠CDB=31010,求a.【答案】1π4; 2344或102.【解析】(1)方法1:由正弦定理可得sinAcosC−2sinB⋅cosA+sinC⋅cosA=02分即sinA+C−2sinB⋅cosA=0,即sinB−2sinB⋅cosA=0..3分因为B∈0,π,可得sinB≠0,所以cosA=22,4分因为A∈0,π,所以A=π4.·5分评分细则:方法1:分两个过程(3分+2分)过程1:边化角:利用两角和的正弦公式及sinB=sinA+C化解(3分).过程2:求值:求出cosA=221分,求出A=π41分方法2:由余弦定理可得,cosC=a2+b2−c22ab,cosA=b2+c2−a22bc,·1分所以aa2+b2−c22ab=2b−cb2+c2−a22bc,整理得,b2+c2−a2=2bc,.3分所以cosA=b2+c2−a2bc=22,·4分因为0