益阳市2024年下学期普通高中期末质量检测高三数学(试题卷)本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|3x−2+x−2<6},B={x∈Z|00)的图象是以直线y=ax，x=0为渐近线的双曲线.现将函数y=34x+1x的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心率是A.52B.103C.5D.105.x+y−1⁵的展开式中所有二次项(即含x²，xy，y²的项)的系数和为A.-40B.-20C.0D.406.已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为3,则该圆台的体积为A.83πB.263π3C.283π3D.103π7.如图所示，点F是抛物线y²=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y²=4x及圆x−1²+y²=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是A.[8,10]B.(5,8)C.(10,12)D.(8,10)高三数学试题卷第1页共4页 8.己知定义域为R的函数f(x)满足当x≤1时，fx=x2+1,x≤0log2x+1,0nD.D2n<23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足z|z|=23−2i,则复数z=`.13.已知fx=|sinx−12|+12cos2x+3cosx,则函数f(x)的最小值为.14.若函数y=f(x)满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A，都有(eˣfx−eˣ是一个常数a，则称f(x)在A上具有M性质.设y=g(x)是在区间[-2，2]上具有M性质的函数，且对于任意x₁,x₂∈−22,都有|gx₁|−|gx₂|x₁−x₂>0成立，则a的取值范围为.高三数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab>0)过点P21,且椭圆C的短轴长等于焦距.(I)求椭圆C的方程；(II)若直线l的斜率为22,且与椭圆C相交于A、B两点，求△ABP面积取得最大值时直线l的方程.16.(本小题满分15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b−2cosAsinA=2cosCsinC.(I)求边c;(II)若tanC=2tanB,求△ABC面积的最大值.17.(本小题满分15分)如图，四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=AD=2,CD=BC.(I)作点A在平面PBD内的射影H，写出作法及理由；(II)若∠BAD=120°,∠BCD=60°,且PB⊥PD,求二面角H−AB−D的正弦值. 18.(本小题满分17分)某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20,68)[68,76)[76,84)[84,92)[92,100]元件数(件)21836404(I)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；(II)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差DX=σ²,则对任意正数ε，均有P|X−μ|≥ε≤σ2ε2成立.(i)若X∼B10012,证明：P0≤X≤25≤150;(ii)由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信?(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)19.(本小题满分17分)已知函数fx=lnx+1.(I)求f(x)在原点处的切线方程；(II)n为正整数,对任意x≥0,求证:f12n≤1x+112n−x+lnx+1;(Ⅲ)求证:＜2e(e为自然对数的底数).