吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三上学期二模数学试题

★保密·启用前★吉林地区普通高中2024-2025学年度高三年级第二次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1.命题，，则为 A.， B.， C.， D.， 2.设全集，，≤，则图中阴影部分表示的集合是 A. B. C. D. 3.在中，点为的中点，点为的重心，则 A. B. C. D. 4.已知随机事件和，下列表述中错误的是 A．若，则 B．若，则 C．若，互斥，则 D．若，互斥，则5. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双 曲线的实轴长为 A. B. C. D. 6. 定义：到定点的距离为定值的直线系方程为， 此方程也是以为圆心，为半径的圆的切线方程.则当变动时，动直线 围成的封闭图形的面积为 B. C. D.7. 已知等差数列的首项为，且，，成等比数列，则数列的前 项和为A. B. C. D.定义：为不超过的最大整数，区间（或，，）的长度记为. 若关于的不等式的解集对应区间的长度为，则实数的取值范围是 A. B.≤＜ C.≤＜ D.≤＜二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9. 设复数，则 A.在复平面内对应的点位于第一象限 B. C. D.若是关于的方程的一个根，则 10. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来.所以我们听到的声音的函数是，记，则 A.的最大值为 B.在上单调递增 C.的周期为D．,11.已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则 A. B. C.有个零点 D.若，则或三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。12. 已知函数则.13. 已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若 直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为.14. 如图，在三棱锥中，平面平面， ，，点在棱上，且 ，侧面内一动点满足，则点的轨迹 长度为；直线与直线所成角的余弦值的取值范围 为.四、解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，.（Ⅰ）若，，求的面积；（Ⅱ）若角的平分线与的交点为，，求的最小值.16.（本小题满分15分）已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中， ，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高．18.（本小题满分17分）国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设.现对近年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：年份年年年年年份序号项目支出/百亿元 （Ⅰ）经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系.请求出项目支出关于 年份序号的经验回归方程，并预测年的项目支出； （Ⅱ）天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基 金申报者的交流，天元基金委员会举办了论坛活动.经调查统计，甲、乙两个地区共 有人参加此次论坛活动，具体数据如下表：男生女生合计/人甲乙合计/人 （ⅰ）根据小概率值的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？ （ⅱ）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为分），现采用按男、女样本 量比例分配的分层随机抽样，从上述人中抽取人进行访谈，其中男生样本 的满意度平均数为分，方差为，女生样本的满意度平均数为分，方差为 ，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并对全体参加此次 论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计. 附：，， ，其中.19.（本小题满分17分）已知在抛物线上，其中，关于轴的对称点为，记直线的斜率为，且.（Ⅰ） 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（Ⅱ） 求的面积；（Ⅲ） 记，为数列的前项和，是否存在正整数，，使 成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.命题校对：高三数学核心组