2024-2025学年浙江省台州市高一上学期1月期末质量评估数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若幂函数f(x)=xα经过点(2,2)，则f(9)=( )A.81 B.181 C.3 D.132.已知函数y=f(x)在区间[0,3]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)=−1.1，f(1)=2，f(2)=1.5，f(3)=−2.35，则函数y=f(x)在区间[0,3]上的零点至少有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.“x>1，y>2”是“x+y>3”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为( )A.8 B.4 C.8π D.4π5.若α∈(0,π)，2sinα+cosα=1，则tanα=( )A.−45 B.−54 C.−34 D.−436.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π27.设a=log64，b=log86，c=log96，则( )A.a>c>b B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a8.光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，并满足sinαsinβ=1.33(其中α是入射角，β是折射角).当入射角α(0∘<α<80∘)增加10∘时，折射角β增加x∘，则( ) A.x<10 B.x=10 C.1013.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b>0，则下列不等式成立的是( )A.a2>b2 B.c2a>c2b C.a−1a>b−1b D.ba0且a≠1)的图象过定点_________．13.已知sinx+π3=13，则sin2π3−x=_________．14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正常数．污染物的初始含量为 mg/L；如果在前5 ℎ消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费 小时(精确到1 ℎ).(参考数据：lg 3≈0.477)四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)求值：(1)4912+(278)23−2−2+3(π−2)3;(2)1+2sin20∘sin70∘sin70∘+1−cos2160∘．16.(本小题12分)已知集合A={x|x2−(2+a)x+2a<0}，B={x|y=−x2−2x+3}.(1)若a=0时，求(∁RA)∩B;(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．17.(本小题12分)已知函数f(x)=2x+12x+1+a是奇函数．(1)求a的值，判断函数f(x)的单调性并请说明理由;(2)对任意x∈R，不等式f(k⋅2x)+f(3⋅2x−4x−1)≤0恒成立，求实数k的取值范围．18.(本小题12分)已知O(0,0)，A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，α≠β+2kπ，k∈Z.(1)请写出以x轴的非负半轴为始边，射线OA为终边的角的集合;(2)作点A关于直线OB的对称点C(cosγ,sinγ). ①当α=π4，β=π3时，求点C坐标; ②若B(216,156)，cosαcosγ=14，求cos(α−γ).19.(本小题12分)给定函数f(x)，若对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”．(1)判断函数g(x)=3x是否为“保三角形函数”，并说明理由;(2)若ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，求m的最小值;(3)若函数p(x)同时满足以下条件： ①p(0)=0; ②p(x)在区间(0,+∞)上单调递增; ③对任意x1，x2∈[0,+∞)，λ∈[0,1]都有p(λx1+(1−λ)x2)≥λp(x1)+(1−λ)p(x2). 证明：函数p(x)是“保三角形函数”． 参考答案1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A 9.ACD 10.AD 11.ABD 12.(1,2) 13.13 14.P0；57 15.解： (1)原式=7+94−14+π−2=7+π； (2)原式=1+2sin 20°cos 20∘sin 70∘+1−cos2 160∘==sin20∘+cos20∘sin70∘+sin160∘=sin20∘+cos20∘sin70∘+sin20∘=sin20∘+cos20∘cos20∘+sin20∘=1． 16.解：(1)A={x|02时，A={x|20， 所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)c． 此时g(a)=3a>0，g(b)=3b>0，g(c)=3c>0， 且有g(a)+g(b)=3a+3b=3(a+b)>3c=g(c)， 所以g(a)，g(b)，g(c)可以构成某三角形的三边． 所以g(x)=3x是“保三角形函数”． (2)因为ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，所以a>0，b>0，c>0且ℎ(a)>0，ℎ(b)>0，ℎ(c)>0， 必有ln(x+m)>0对∀x>0恒成立， 所以lnm≥0，解得m≥1. 下证：当m≥1时，ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”． 不妨设0c． 此时ℎ(a)=ln(a+m)>0，ℎ(b)=ln(b+m)>0，ℎ(c)=ln(c+m)>0， ℎ(a)+ℎ(b)=ln(a+m)+ln(b+m)=ln[(a+m)(b+m)]=ln[ab+(a+b)m+m2]≥ln(ab+a+b+m)>ln(c+m)=ℎ(c)， 所以若ℎ(x)=ln(x+m)是“保三角形函数”，m的最小值为1． (3)不妨设0c． p(a)>0，p(b)>0，p(c)>0． 由p(λx1+(1−λ)x2)≥λp(x1)+(1−λ)p(x2)，λ∈[0,1]， 知当x2=0时，p(λx1)≥λp(x1). 所以p(a)=p(aa+b(a+b))≥aa+bp(a+b)， p(b)=p(ba+b(a+b))≥ba+bp(a+b)． 所以p(a)+p(b)≥aa+bp(a+b)+ba+bp(a+b)=p(a+b)． 而a+b>c，p(x)在区间(0,+∞)上单调递增， 所以p(a+b)>p(c)． 所以p(a)+p(b)>p(c)，即函数p(x)是“保三角形函数”．