山西省太原市2024-2025学年高二上学期期末学业诊断数学试卷 Word版含解析

2024～2025学年第一学期高二年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8：00—10：00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线y2=4x的焦点坐标是A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）【答案】D【解析】【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．2.双曲线的顶点坐标为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的几何性质即可求解.【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，.故选：B.3.已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（）AB.C.D.第1页/共17页学科网（北京）股份有限公司【答案】D【解析】【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解.【详解】因为的圆心为，所以，得到，又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为，故选：D.4.已知双曲线的一个焦点为，其离心率，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由条件求得，再根据焦点位置确定渐近线方程．【详解】由题意，，，所以，焦点在轴，则渐近线方程为，故选：A．5.已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出椭圆的顶点和焦点，即可得出双曲线方程.【详解】∵椭圆方程E：的焦点坐标为，，上、下顶点为，.第2页/共17页学科网（北京）股份有限公司∴设双曲线方程C：，则，，∴设双曲线方程C：故选：C.6.已知点P是抛物线上一点，则点P到直线的距离的最小值为（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据点P在抛物线上，设，结合点到直线的距离公式与二次函数的性质即可求解.【详解】∵点P在抛物线上，∴设，∴点到直线的距离，当且仅当，即时取等号.点P到直线距离的最小值为.故选：A.7.已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第3页/共17页学科网（北京）股份有限公司【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值.【详解】设点、，由题意可得，因为点是的中点，则，因为，这两个等式作差可得，所以，，因此，双曲线的离心率为.故选：D.8.古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.若方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把方程化为点到定点的距离与到定直线距离之比的形式后，由定义可得．【详解】由得，即，该方程表示双曲线，则，解得，故选：B．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多第4页/共17页学科网（北京）股份有限公司项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（）A.它们的实轴长相等B.它们的焦点相同C.它们的离心率相等D.它们的渐近线相同【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项．【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确；对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误；对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确；对于D，双曲线的渐近线分别为和，所以当即时，它们的渐近线不相同，故D错误.故选：AC．10.已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（）A.直线l过定点B.当时，直线l与抛物线C相切C.当时，直线l与抛物线C有两个公共点D.当直线l与抛物线C无公共点时，或【答案】BD【解析】【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A，利用特例判断C，由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD．【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错；选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而第5页/共17页学科网（北京）股份有限公司，又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确；选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错；选项D，得，由，得或，D正确．故选：BD．11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）A.曲线C关于原点对称B.点P的横坐标的取值范围为C.面积的最大值为2D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】利用对称性判断A，结合曲线方程判断BC，利用平面几何性质及对勾函数性质求解判断D．【详解】设，由题意，变形得，点代入有，所以点为关于原点对称的点，也在曲线上，即曲线关于原点对称，A对，曲线方程整理为，令，则，此关于的方程有实数解，则，又，即方程有非负数解，所以，解得，当时，，即和是曲线上的点，第6页/共17页学科网（北京）股份有限公司所以横坐标范围是，B错，选项C，曲线方程整理为，因此，解得，时，，时,，即点在曲线上，所以，C正确；选项D，首先，当是中点时，，，不妨设，则，，，，解得，，由对称性得，，记，则，，由对勾函数性质知函数在上单调递减，在上单调递增，时，，时，，所以，D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：利用两点式得到所在的曲线方程，令有，应用方程及函数思想为关键.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.抛物线的准线方程是___________________.【答案】【解析】【分析】将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可．【详解】由得：，所以，即：第7页/共17页学科网（北京）股份有限公司所以抛物线的准线方程为：．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．13.已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为__________.【答案】1【解析】【分析】设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理结合弦长公式求得，再求出到直线的距离后，由面积公式计算．【详解】由题意，直线方程为，设，由得，所以，又，所以，解得（负值舍去），即直线方程为，所以到直线的距离为，，故答案为：1.第8页/共17页学科网（北京）股份有限公司14.已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解.【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，.由双曲线定义可得，即.，当且仅当三点共线时，取得最大值.∵点N是圆上的动点，∴圆心设为，半径，，.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标；第9页/共17页学科网（北京）股份有限公司（2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标.【答案】（1）标准方程为，其焦点坐标为或，焦点坐标为；（2），其焦点坐标为.【解析】【分析】（1）根据焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上分类讨论设出抛物线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论；（2）根据焦点在x轴上，或在y轴上分类讨论设出双曲线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论；【详解】（1）由题意知抛物线的焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上.当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则，∴.故抛物线的标准方程为，其焦点坐标为.同理可得，当焦点在y轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则，∴.故抛物线的标准方程为，焦点坐标为.（2）当双曲线的焦点在x轴上时，设其标准方程为（，），由得，∴，焦点坐标为.当双曲线的焦点在y轴上时，设其标准方程为（，），第10页/共17页学科网（北京）股份有限公司因无解，所以双曲线的焦点在y轴上不成立.综上，双曲线的标准方程为，其焦点坐标为.16.已知点在抛物线C：（）上，且点P到C的准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）设圆与抛物线C相交于A，B两个不同点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义求得，得抛物线方程；（2）圆方程与抛物线方程联立，求得交点坐标后可得两点间距离．【小问1详解】由题意得，∴，∴抛物线C的方程为.【小问2详解】设，，由得，解得或（舍去），当时，则，∴.17.已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程，并说明曲线C的形状；第11页/共17页学科网（北京）股份有限公司（2）若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程.【答案】（1），曲线C是以为圆心，为半径的圆（2）【解析】【分析】（1）设，根据两点间距离公式得到方程，化简即可求解.（2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），且，结合点到直线的距离公式与双曲线渐近线方程，即可求解.【小问1详解】设，由题意得，化简并整理可得曲线C的方程，∴曲线C是以为圆心，为半径的圆.【小问2详解】由（1）可设双曲线E的方程为（，），，圆心到双曲线E的渐近线的距离，∴，，∴双曲线E的标准方程为.18.已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的标准方程；（2）若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（）第12页/共17页学科网（北京）股份有限公司（2）存在实数，理由见解析【解析】【分析】（1）设，运用直线的斜率公式，结合题意化简可得曲线C的方程；（2）假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，，联立直线方程与双曲线方程、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合斜率公式与求解即可.【小问1详解】设，由题意得直线PM斜率为（），直线PN斜率为（），∴，化简，得曲线C的标准方程（）.【小问2详解】假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，，由得，∴，.∵，∴，∴，∴，第13页/共17页学科网（北京）股份有限公司∴，∴或，当时，直线l的方程为，即l过点Q，不符合题意；当时，则，，，符合题意；综上所述，存实数.【点睛】方法点睛：直线与双曲线的综合应用的解题通法为：联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可.19.椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射后回到所经过的路程为8c.过点作直线l的垂线，垂足为D，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当点P，A，B不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n的取值范围；（3）过点的直线与椭圆C交于M，N两点（均与A，B不重合），直线AM交直线于点G，证明：B，N，G三点共线.【答案】（1）第14页/共17页学科网（北京）股份有限公司（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）延长交的延长线于点Q，易得，即可求解椭圆方程；（2）设（），根