山东省菏泽市2025年高三一模考试数学试卷（含答案）

2025年高三一模考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案DCDACABD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BDBCDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．512.8013.或（注：写对一个不得分）14.，10（注：第一空2分，第二空3分）362四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）解：（1）零假设H0:与性别无关.…………………1分100(40301020)250根据列联表中的数据得216.66710.828x，…………5分5050604030.001依据0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，对机器人表演节目的喜欢与性别有关联…………………6分n(AB)404（2）依题意得，P（B|A)，…………8分n(A)505n(AB)202P（B|A),…………10分n(A)505则PBAPBA…………11分意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等…………13分16.（15分）（1）证明：由CD//BE，BCCDDE1,DEB60，易求BE2…………1分取PE的中点M，连结MF，F为PB的中点高二数学试题参考答案第1页(共6页){#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}1所以MF//BE,MFBE,所以MF1,MF//CD2所以四边形CDMF为平行四边形.………4分所以，CF//DM，又CD平面PAD，DM平面PAD所以CF//平面PAD…………6分（2）由PEEB2,PB22，所以PE2EB2PB2所以PEEB，又平面PBE⊥平面ABCD所以PE⊥平面ABCD…………8分以E为原点，EB所在直线为x轴，过E与EB垂直的直线为y轴，EP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则31D(，，0)，22P(0，0，2),B(0，2，0),F(0，1，1),A(3，1，0),…………10分31PA(3，1，2),PB(0，2，2),DF(，，1)22设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则nPA，nPBnPA03xy2z0，所以，取z1，则x3，y1nPB02y2z0所以平面ABP的一个法向量为n(3，1，1)………………………13分设DF与平面ABP所成角为，则31|1||nDF|310sin22|n||DF|5210310所以直线DF与平面ABP所成角的正弦值为……………………15分1017.（15分）（1）解：f'(x)aex1当a0时，f'(x)0恒成立，此时f(x)在R上单调递减…………………2分当a0时，令f'(x)0，则xlnax(，lna)，f'(x)0，f(x)单调递减，x(lna，)，f'(x)0，f(x)单调递增综上所述，当a0时，f(x)的减区间为(，)，无增区间；高二数学试题参考答案第2页(共6页){#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}当a0时，f(x)的减区间为(，lna)，增区间为(lna，).……………………6分（2）因为存在x[1，1]，使得|f(x)|2.只需fmax(x)2或fmin(x)2……………8分因为a0，所以f(x)aexxx1…………………………10分所以只需fmax(x)2由（1）知fmax(x)为f(1)与f(1)中的较大者3所以f(1)ae12或f(1)ae112解得a或ae，…………13分e3所以ae3综上所述，a的取值范围为[，)………………………15分e18.（17分）（1）解：若ij100，则(i,j)的所有取值情况为：(1,99),(2,98),(3,97),...,(50,50),...(97,3),(98,2),(99,1)故数阵共99项，由22知：，{a(i,j)}a(i,j)ija(50,50)=0a(1,99)+a(99,1)=a(2,98)+a(98,2)=...=a(i,j)+a(j,i)=0所以.………………4分T=a(1,99)+a(2,98)+a(3,97)+...+a(50,50)+...+a(97,3)+a(98,2)+a(99,1)=0（2）证明：222222a(m,n)a(p,q)(mn)(pq)(mpnq)(mqnp)**由m,n,p,qN知，mpnq,mqnpN，故a(m,n)a(p,q)a(mpnq,mqnp)，所以也是数阵{}中的项.……………………………8分a(m,n)a(p,q)a(i,j),{,,,...,}若知：22（3）ij123nija(i,j)ij(ij)(ij)由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数，ijija(j,i)jiji即i与j必定一奇一偶，42当n3时，(i,j)的取值情况有4种，故；P32A3382当n4时，(i,j)的取值情况有8种，故；P42A43当n5时，(i,j)的取值情况有12种，故123；P42A55……当n3且n为奇数i,时j，{1,2,3,...,n}中有n1个奇数，n1个偶数，22高二数学试题参考答案第3页(共6页){#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}n21n1n1n21n1故(i,j)的取值情况有种，故2；…………………14分2Pn2222An2nnn当n3且n为偶数时，{1,2,3,L,n}中有个奇数，个偶数，22n22n故(i,j)的取值情况有nnn种，故2；2Pn2222An2(n1)n1n综上所述，当n3且n为奇数时，P；当n3且n为偶数时，P…………17分n2nn2(n1)b2219.解：（1）由双曲线C的渐近线方程为y2x知：2，即b2a.a22b2a234a1把点(3,2)带入双曲线C的方程得：1，由解得：，22342ab1b2a2b2y2所以双曲线C的标准方程为x21.………………………3分2(2)解法1：①由题意知切线PQ的斜率存在，故设切线PQ的方程为ykxm，|m|由圆O的圆心到直线PQ的距离d2，1k2所以m22k22…………①………………………5分y2把ykxm带入x21消y得：(k22)x22kmxm220，2由题意知.设，，，0P(x0,y0)Q(x1,y1)R(x2,y2)2kmm22那么由韦达定理知：xx，xx，………………………7分01k2201k2222222那么22km2k2km2y0y1(kx0m)(kx1m)kx0x1km(x0x1)mmk22k222k22m22k22m2，那么xxyy0……………………10分k220101k22所以OPOQx0x1y0y10，所以OQOP，同理可得OROP，所以Q,O,R三点共线，又由双曲线C关于原点O对称，所以Q,R两点关于原点对称.……………12分②MPMQ是定值-2，证明如下：连接OP,OM，由①知：OROP，OMPQ，所以RTOMQ:RTPMO，高二数学试题参考答案第4页(共6页){#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}uuuruuur|MQ||OM|2所以，所以MPMQ|MP||MQ||OM|2为定值.………………17分|OM||MP|解法2：证明：设P(x0，y0)，Q(x1，y1),R(x2，y2)①当x02时，若P(2，2)，则Q(2，2)，R(2，2)；若P(2，2)，则Q(2，2)，R(2，2)满足条件……………4分②当x02时，设PQ：yy0k1(xx0)，PR：yy0k2(xx0)|ykx|因为PQ与圆O相切，所以O到直线PQ的距离为：d010221k1222222所以(2x0)k12x0y0k12y00，同理(2x0)k22x0y0k22y00222所以k1，k2时方程(2x0)k2x0y0k2y00的两根2y222(x21)2(2x2)所以000（*）………………………7分k1k222222x02x02x022y联立x1化简得：22222(2k1)x(2x0k12k1y0)x(x0k1y0)20yk1(xx0)y02ky2xk2所以1001，x0x122k1222y2x()22ky2xk2k00k2(4xky)同理200211010，（）x0x222k1k22222k22()2k1k12ky2xk22(2xky)2(2x2xk2)所以1001010001(x0x1)(x0x2)2222x02k12k12k1所以2x0x1x22x0，所以x1x20.所以x1x2，又因为Q、R在双曲线上，所以y1y2，所以Q、R关于原点对称.……………………12分②MPMQ为定值-2，理由如下：由①知OPOQx0x1y0y1，高二数学试题参考答案第5页(共6页){#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}22222222又y0y14(x01)(x11)4[x0x1(x0x1)1]2224[x0x1(x0x1)2x0x11].42k28k2(1k2)由①得：xx1，(xx)211，0120122k12(k12)（42k2)28k（21k2)84k2（42k2)2所以2211111y0y14[222221]22(k12)(k12)k12(k12)（22k2)因为2，所以1k12y0y12k1242k22k24所以11，OPOQ220k12k122所以MPMQ(OPOM)(OQOM)OPOQOPOMOMOQOM2OPOQOM022所以MPMQ为定值2.……………………17分（或：设PR与圆O切于点N，连结OM，ON，OP,则OMPQ,ONPR,所以QPORPO,又由①知O为QR的中点.所以OP为PQR的高。即OP⊥OQ，下同解法1）高二数学试题参考答案第6页(共6页){#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}