石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试数学试卷

石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效。3．本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（    ）A．B． C． D．2．若，则（    ）A． B． C． D．3．已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（    ）A． B．2 C． D．4．计算cosπ4−αsinα+cosα的值是( )A．2B．−2C．22D．−225．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（   ）A． B． C． D．6．当时，曲线与的交点个数为（    ）A．3 B．4 C．6 D．87．设a=1.69，b=1.31.9，c=1+log1024128，则（）A．c＞b＞aB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞a＞c8．函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（    ）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数，，令，，则（    ）A．与的单调区间相同 B．与的单调区间相同C．与有相同的最小值 D．与有相同的最小值10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（       ）附：随机变量服从正态分布，则，，.A．该校学生的体能检测结果的期望为B．该校学生的体能检测结果的标准差为C．该校学生的体能达标率超过D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等11．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点的轨迹为曲线，则（    ）A．曲线关于原点对称 B．曲线与轴恰有3个公共点C．的周长最小值为4 D．的面积最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为.13．用3种不同的颜色给两个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则两个区域颜色相同的概率是__________.14．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为．  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.16．（15分）记的内角的对边分别为，已知，.(1)求及；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.17．（15分）已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.18．（17分）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．19．（17分）已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．(1)求面积的最大值；(2)求与面积之比的最大值．