江苏省高邮市2024-2025学年高三下学期第一次联考数学试题

高邮市高三2024~2025学年第二学期第一次联考高三数学2025.2.28一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数z与复平面内的点对应，则（     ）A．B．C． D．3．已知，且，则的最小值是（    ）A． B．4 C．8D．164．在二项式的展开式中，含项的系数为（   ）A． B．5 C．10 D．405．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．6．已知函数，若在区间内恰好存在三个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（    ）A．B． C． D．7．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ）A． B．事件B与事件C为互斥事件C．事件A与事件B为独立事件D．10．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（   ）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C．D．若，则数列的前项和11．如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（   ）  A．当为靠近D的三等分点时，异面直线与所成角的余弦值为B．存在点G，使得平面CEFC．点B到平面CEF的距离是D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若，则.13．点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为.14．已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在中，角、、所对的边为、、，已知.(1)求角的值；(2)若为边的中点，且，，求的面积.16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．(1)求证：平面；(2)求二面角的正切值．17．（15分）近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表：购买AI手机购买不带AI的手机总计男性顾客4070110女性顾客603090总计100100200(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？(2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望.参考公式：，.0.0100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，且右顶点和上顶点都在直线上.(1)求C的方程；(2)若直线l经过交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值；(3)若过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：19．（17分）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围；(3)若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．