湖南省常德市安乡县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（含答案）

湖南省常德市安乡县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知实数满足，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．3．设，则且是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设，，，则（    ）A． B．C． D．5．命题，命题，则下列命题为真命题的是（    ）A． B．C． D．6．已知，则（    ）A． B． C． D．7．定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．48．若函数（，且），则（    ）A．1010 B．1011 C．2022 D．2023二、多选题9．已知，则下列不等式中错误的是（    ）A． B．C． D．10．已知函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（    ）A．2 B．3 C． D．11．函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（    ）A． B． C． D．三、填空题12．函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则.13．将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是.14．若关于的不等式，且恰有4个整数解，则的取值范围是.四、解答题15．记函数f(x)=的定义域为A，(a<1)的定义域为B.（1）求A；（2）若BA，求实数a的取值范围.16．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间.17．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？18．已知函数．（Ⅰ）关于x的不等式的解集为，且，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得当时，成立．若存在给出证明，若不存在说明理由.19．对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”.(1)证明:数列是“弱等差数列”;(2)设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：是“弱等差数列”;(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.参考答案题号12345678910答案DAABACCBABCAC题号11答案AC12．413．14．15．（1）；（2）16．(1)(2)【解】（1），故的最小正周期.（2）由，得，所以函数的单调增区间为.17．(1)(2)当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．【解】（1）；（2）当时，，对称轴为,当时，，当时，当且仅当时等号成立答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．18．（Ⅰ）（Ⅱ）当时，条件成立【解】试题分析：（Ⅰ）结合二次函数图像及性质求解不等式的解集，借助于得到关于的不等式，从而求解其取值范围；（Ⅱ）将已知条件化简可知函数为偶函数且函数值为非负数，由此可求得实数的值试题解析：（1）若关于x的不等式的解集，则，即当时．不等式解集A为由题意可知：当时，不等式解集A为由题意可知：综上所述：另解：开口向上关于x的不等式的解集为，且等价于（2）存在，．证明：当时，又所以：当时，条件成立．考点：三个二次关系及函数奇偶性19．【解】（1）存在数列是等差数列，且，所以数列是“弱等差数列”.（2），令得，所以极值点即为和图象交点的横坐标，由和在内的图象可知，在每个周期都有一个交点，所以令，则，所以是“弱等差数列”.（3）构造正整数等比数列，，其中是待定正整数，下面证明：存在正整数，使得等比数列是长为2024的“弱等差数列”.取若存在这样的正整数使得成立，所以，由，得，于是，又因为，所以当时，，而，所以，最后说明存在正整数使得，由，上式对于充分大的成立，即总存在满足条件的正整数.所以，存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.