山东省淄博市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题 Word版含解析

2024—2025学年度第一学期高二教学质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从标有1，2，3，4，5五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是6的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从五张卡片中无放回随机抽取两张则可能结果有，，，，，，，，，共个；其中满足两张卡片数字之和是6的有、共个，所以抽到的两张卡片数字之和是6的概率.故选：A2.已知直线，则下列说法正确的是（）A.当时，直线的倾斜角为B.当时，C.若，则第1页/共21页学科网（北京）股份有限公司D.直线的纵截距为a【答案】D【解析】【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D．【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误；对于B，等价于，解得，故B错误；对于C，若，则且，故，故C错误；对于D，，当时，直线的纵截距为，故D正确.故选：D.3.设，则（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】因为，∴，解得∴，∴故选：C．4.若点为直线上任意一点，过点总能作圆的切线，则的最小值为（）A.B.C.-2D.第2页/共21页学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相离或相切可求的最小值.【详解】因为过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上，也即直线与圆相离或相切，则，即，解得，故的最小值为.故选：B.5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点，且，若，则（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可求，从而可求它们的和.【详解】因为，故，而，而不共面，故，故，故选：C第3页/共21页学科网（北京）股份有限公司6.如图，在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以D为坐标原点，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图，以D为坐标原点，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以点E到平面的距离为．第4页/共21页学科网（北京）股份有限公司故选：A.7.已知、分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积，则此椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围.【详解】设点，则，且，可得，易知、，所以，所以，可得，故.故选：D.8.正方体的棱长为3，点在棱上，且，点是正方体下底面内.(含边界)的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为9，则的最大值是（）A.2B.C.D.【答案】B第5页/共21页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】作，，即为到直线的距离，从而可得，即点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解.【详解】如图，作于，因平面，，则平面，过点作于，因为，故，而平面，故平面，所以长即为到直线的距离.因为，，所以，所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，如图建立直角坐标系，则，则点的轨迹方程是，设，所以，所以当，取得最大值.故选：B【点睛】思路点睛：空间中点的轨迹，往往利用空间中的点线面的关系转化为平面中动点的轨迹的问题，后者往往需要利用曲线的定义来处理.第6页/共21页学科网（北京）股份有限公司二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机事件，，，则下列说法正确的是（）A.若事件与事件相互独立，则B.是事件与事件互为对立事件的充要条件C.若事件与事件互斥，，则D.若事件与事件相互独立，则【答案】ACD【解析】【分析】根据相互独立事件的定义判断A，举反例判断B，根据互斥事件的定义可得，再由对立事件的概率公式判断C，根据和事件的概率公式判断D.【详解】对于A：若事件与事件相互独立，则，故A正确；对于B：由推不出事件与事件互为对立事件，如抛掷一枚骰子，记，，则，所以，显然事件与事件不对立，故B错误；对于C：若事件与事件互斥，，则，，所以，故C正确；对于D：若事件与事件相互独立，则，故D正确.故选：ACD10.已知点，点满足，设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）第7页/共21页学科网（北京）股份有限公司A.的方程为B.在上存在点，使得C.在上不存在点，使得D.上的点到直线的最小距离【答案】ABC【解析】【分析】设，根据求出曲线的方程可判断A；利用两圆的位置关系判断B；根据方程的判别式符号判断C；根据点到直线的距离公式，结合圆的几何性质可判断D.【详解】已知，点满足，设，则，整理得，即，故A正确；的圆心为半径为4，因为，所以D在以原点为圆心以3为半径的圆O上，因为，所以圆O与圆C相交，所以在曲线C上存在点D，使得，故B正确；设，由得，即①，假设上存在点符合题意，则②，①-②可得，代入①可得，方程无解，假设不成立，即在C上不存在点M，使得，故C正确；C的圆心到直线的距离，所以C上的点到直线的最小距离为，故D错误.故选：ABC【点睛】方法点睛，求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的第8页/共21页学科网（北京）股份有限公司等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③逆代法，将代入.11.已知曲线，则下列说法正确是（）A.当时，曲线关于对称B.当时，的最大值为2C.当时，若点是曲线上任意一点，则D.当时，曲线上的点到原点距离的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】点关于对称的点为，代入方程即可判断A，令，，利用辅助角公式及正弦函数的性质判断B，由即可求出的取值范围，即可判断C，利用基本不等式求出的最小值，即可判断D.【详解】对于A：当时曲线，设点在曲线上，则点关于对称的点为，所以即，故点不在曲线上，所以曲线不关于对称，故A错误；对于B：当时曲线，即，令，，第9页/共21页学科网（北京）股份有限公司则，所以当，即时取最大值，所以的最大值为，故B正确；对于C：当时曲线，则，所以，解得或，所以，故C正确；对于D：当时曲线，则，当且仅当，即，时取等号，所以，所以曲线上点到原点距离的最小值为，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题B选项关键是三角换元，D选项关键是利用基本不等式求出的最小值.三.填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.12.在正方体中，点分别在棱上，且，，则异面直线与所成角的正弦值为_____.【答案】##【解析】【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.第10页/共21页学科网（北京）股份有限公司【详解】设正方体中棱长为3，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.13.已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】利用直线与半圆有且只有一个交点数形结合后可求实数的取值范围.【详解】曲线即为半圆：，而直线过定点，如图：当直线过时，，过时第11页/共21页学科网（北京）股份有限公司当直线与半圆相切时，，故或（舍）故当直线线与半圆有且只有一个交点时，或，故实数的取值范围为，故答案为：14.已知点、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为_____.【答案】【解析】【分析】在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解.【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解.如图，由椭圆的定义可知，且，又，利用余弦定理可知：，化简可得，第12页/共21页学科网（北京）股份有限公司所以的面积为，设的外接圆半径为，内切圆半径为，由正弦定理可得，可得，易知的周长为，利用等面积法可知，解得，又的外接圆面积是其内切圆面积的倍，即，所以，即可得，所以，离心率.故答案为：【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，，代入公式；只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.在某次1500米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为，甲，乙，丙三人是否通过测试互不影响，求:（1）只有2人通过体能测试的概率；（2）至少有1人通过体能测试的概率.【答案】（1）第13页/共21页学科网（北京）股份有限公司（2）【解析】【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得.【小问1详解】设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，由题意有．设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则，所以；【小问2详解】设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件.16.已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为32，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由抛物线的定义即可求出抛物线方程；(2)设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积即可求解.【小问1详解】第14页/共21页学科网（北京）股份有限公司由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.【小问2详解】设，显然直线的斜率不为0，可设直线，联立，则，，所以，原点到直线的距离为：，所以，解得，所以直线的方程为：或.17.已知圆与圆，直线（1）判断与圆的位置关系并证明；（2）过动点分别作两圆的切线(分别为切点)，若，求的最小值.【答案】（1）与圆相交.（2）第15页/共21页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）求出动直线所过的定点后可判断直线与圆的位置关系；（2）先求出的轨迹方程后利用点到直线的距离公式可求最小值.【小问1详解】直线的方程可化为：，令，故，故直线过定点，而，故该定点在圆的内部，故与圆相交.【小问2详解】两圆的半径均为1，因为，故即，故，故，故的轨迹为直线.因为表示，而，故.故的最小值为.18.如图，四棱锥，平面平面，，，，，，，.（1）证明:（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若点是平面内的动点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；第16页/共21页学科网（北京）股份有限公司（2）（3）【解析】【分析】（1）由平面平面，，根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，结合，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论；（3）