四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量测试数学试题 Word版含解析

保密★启用前【考试时间：2025年1月14日9：45—11：45】高中2024级第一学期末教学质量测试数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第I卷（选择题，共58分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：D2.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】通过举反例可判断A、B、D是假命题；利用作差法比较大小可判断C正确.【详解】对于A，当时，不成立，故A是假命题；对于B，当时，不成立，故B是假命题；对于C，因为，则，所以，故C是真命题；对于D，当时，不成立，故D是假命题；故选：D3.设有意义，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由有意义，可得，此时显然成立，若，显然成立，但是没有意义，故选：A4.下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，即函数在上单调递减，逐个选项判断即可.【详解】由对任意的，且，都有，即函数在上单调递减.对于A，，而函数在上单调递增，故A错误；对于B，由余弦函数在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确；对于C，在上单调递增，故C错误；对于D，在R上单调递增，故D错误.故选：B.5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案.【详解】因为，所以，所以函数的定义域，排除B,D,定义域关于原点对称，因为，所以函数是偶函数，排除C，所以函数的图象大致为A.故选：A6.设函数则（）A. B.1 C. D.5【答案】D【解析】【分析】根据特殊角的余弦值和诱导公式，结合代入法进行求解即可.【详解】，故选：D7.将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用代入法求出的值，再根据所求问题列出方程，通过对数的运算法则和换底公式进行求解即可.【详解】因为经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，所以，即设乙桶中的溶液达到共需要注入的时间为，则有，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数的运算性质和换底公式.8.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，则转化为，函数有三个不同的零点，转化为有两个根，一个根在另一根在，根据二次方程根的分布即可求解.【详解】令，则，由函数有三个不同的零点，转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则，则一元二次方程两根为，即的一个根在另一根在，令，则有，即实数的取值范围为，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（）A. B.C.若，则 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可.【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意；当时，，对称轴为，因为二次函数的值域是，且，所以有，因此选项AB正确，若且，所以由二次函数的对称性可得，因此选项C不正确；由，因为，当且仅当时取等号，所以选项D正确，故选：ABD10.若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（）A.B.函数图象关于直线对称C.函数图象关于点中心对称D.当时，【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的性质得到且，即可判断A，由可得的对称轴，即可判断B，再推导出，即可判断C，最后根据奇偶性求出函数在时的解析式，即可判断D.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且，又，所以，故A正确；因为，所以关于对称，故B错误；由，，所以，即，所以，则，即，所以函数的图象关于点中心对称，故C正确；因为当时，，设，则，所以，当时也成立，所以当时，，故D错误.故选：AC.11.已知函数（e为自然对数的底数），则（）A.函数的定义域为 B.函数是增函数C.函数是奇函数 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据对数的定义，结合奇函数的定义、函数单调性的性质逐一判断即可.【详解】由，因此选项A正确；，当时，函数，单调递增，所以也单调递增，因此选项B正确；因为，所以函数是不是奇函数，选项C不正确；由上可得，因为函数是增函数，所以有且，因此选项D不正确，故选：AB【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质进行求解.第II卷（非选择题，共92分）三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上.12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可；【详解】由题意可得：，解得：且，所以函数的定义域为，故答案为：13.某扇形的圆心角为2弧度，半径为，则该扇形的面积为___________【答案】16【解析】【分析】利用扇形的面积S，即可求得结论．【详解】∵扇形的半径为4cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S16cm2，故答案为：16.14.已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为__________.【答案】8【解析】【分析】根据对数型函数的图象，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当时，，因此有，由，于是当，即当时，因为，所以，由函数图象可知，，，因为，所以，所以，因为函数在上的最大值与最小值之差为2，所以，因此，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想得到，再根据函数的单调性进行求解.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义分别法求解即可；（2）先应用诱导公式化简，再代入三角函数值计算求解.【15题详解】角的终边经过点，..【16题详解】16.已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）若函数，当时，求函数的最小值（用表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由不等式的解集为，得是方程的两根，根据根与系数的关系即可得解；（2）函数的图象的对称轴为，根据对称轴分布的情况分类讨论，即可求出函数的最小值.【小问1详解】关于的不等式的解集为，是方程的两根.由根与系数的关系，得，解得，.【小问2详解】由（1）知，所以函数图象的对称轴为，当时，函数在上递减，则；当时，函数在上递减，在上递增，；当时，函数在上递增，.综上，.17.某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元.（1）求实数的值；（2）该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润.【答案】（1），（2）A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元.【解析】【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合对数的性质、对数型函数的单调性、基本不等式进行求解即可.小问1详解】，，解得.，，解得.【小问2详解】设A生产线投入万元，则B生产线投入万元，企业获得利润为.由（1），得，，，整理，得，变形得，，即.，当且仅当时等号成立..，当且仅当时等号成立.当A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元.18.函数的最小正周期为，且.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递减区间；（3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求实数的取值范围及的值.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）由题意函数的最小正周期为即可求出，由即可求出；（2）由求出，令由函数的单调递减区间即可求解；（3）函数的零点得，得或，分类讨论即可得解.【小问1详解】函数的最小正周期为，.，，.又，..【小问2详解】令，则.函数的单调递减区间是，，解得.函数在上的单调递减区间是.【小问3详解】，或或，，由，有两个不同的解，，，此时，，.19.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，）（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；（2）求证：；（3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】(1)根据，函数为上的奇函数，为上的偶函数得联立方程组即可求解；（2）由（1）得函数和的解析式代入即可得证；（3）由（1）知，函数为上的单调增函数，函数在区间上的值域是，得关于的方程有两个互异实根，令，方程有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解.【小问1详解】函数为上的奇函数，为上的偶函数，且，即解得.函数均为上的增函数，函数为上的增函数，合乎题意.【小问2详解】.【小问3详解】，.又，则.由（1）知，函数为上的单调增函数.函数在区间上的值域是，即关于的方程有两个互异实根.令方程有两个互异正根.解得.【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解．