河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月第一次月考数学试题（含答案）

2024——2025学年高二下学期第一次月考数学试题单项选择题（8小题，每题5分，共40分）题目ID：9715025604205649921.下列函数的求导不正确的是（       ）A．x−2′=−2x−3B．xcosx′=cosx−xsinxC．ln10′=110D．2ex′=2ex题目ID：9715025663051776002.如图，已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2))处的切线为1，则f(2)+f′(2)=（       ）A．−2 B．−1 C．0 D．2题目ID：9715025743456542723.函数f(x)=x44−x33的极值点为（       ）A．0 B．1 C．0或1 D．−1题目ID：9715025786448158724.设函数f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f(1)−f(1−Δx)2Δx=−1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为（       ）A．2 B．−1 C．1 D．−2题目ID：9715025856912506885.已知点P在曲线y=2x2−lnx上，点Q在直线y=3x−2上，则|PQ|的最小值为( )A．1313 B．1 C．1010 D．14题目ID：9715025921211187206.已知直线y=x−1与曲线y=ex+a相切，则实数a的值为（       ）A．−2 B．−1 C．0 D．2题目ID：9715025997086105607.已知fx是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，f′x是fx的导函数；当x<0时，有xf′x−2fx>0恒成立，且f−1=1，则不等式fxx>x的解集是（       ）A．−∞,−1∪1,+∞ B．(−1,0)∪(1,+∞)C．(−1,0)∪(0,1) D．(−∞,−1)∪(0,1)题目ID：9715026032318259208.已知a=sin0.1，b=0.09，c=12ln119，则（       ）A．c>a>b B．a>c>b C．b>c>a D．a>b>c题目ID：971502611125506048多项选择题（3小题，每题6分，共18分）9.下列命题正确的是（       ）A．若fx=xsinx−cosx，则f′x=sinx−xcosx+sinxB．设函数fx=xlnx，若f′x0=2，则x0=eC．已知函数fx=3x2ex，则f′1=12eD．设函数fx的导函数为f′x，且fx=x2+3xf′2+lnx，则f′2=−94题目ID：97150265660434432010.已知f(x)=lnxx，下列说法正确的是（       ）A．fx在x=1处的切线方程为y=x−1B．单调递减区间为e,+∞C．fx的极小值为-1eD．方程fx=−1有两个不同的解题目ID：97150266349139148811.已知函数fx=alnx+x22+bx有极值点，下列结论正确的是（     ）A．b2−4a<0B．若a<0，则fx有且仅有一个极值点C．若fx有两个极值点，则ab<0D．若x=1是fx的极大值点，则a>1题目ID：971502667731836928填空题（3小题，每题5分，共15分）12.函数fx=x−1ex的极小值为     ．题目ID：97150267379680051213.已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=sinx−1，则函数f(x) 在x=π2处的切线方程为     ．题目ID：97150268092292300814.已知函数fx=ex−ax2有三个零点，则实数a的取值范围是           .题目ID：971502683426922496解答题（5小题，77分）15.已知函数f(x)=ax3+bx2+1(a∈R)，当x=2时，fx取得极值−3．（1）求fx的解析式；（2）求函数fx的单调区间；（3）求fx在区间−2，3上的最值．题目ID：97150269184489062416.已知函数fx=x2+alnx．（1）讨论fx的单调性；（2）若gx=fx+2x在1，+∞上是单调增函数，求实数a的取值范围．题目ID：97150269642087628817.已知函数fx=2lnx+x2−ax．（1）当a=1时，求fx的单调区间；（2）若对任意01，求a的取值范围．题目ID：97150270295979212818.已知fx=12x2−lnx+1+axa∈R.（1）当a=2时，求函数fx在点0,0处的切线方程；（2）求证：12x2+x≥lnx+1；（3）若fx≥0在x∈0,+∞恒成立，求a的取值范围.题目ID：97150270796359680019.已知函数fx=x+1eax(a≠0)在点2a,f2a处的切线斜率为0．（1）求a的值；（2）求fx在t−1,t+1上的最大值；（3）设gx=fx+2x+3xlnx，证明：对任意x1,x2∈(0,1)都有gx1−gx2<2e3+3e+1．..2024——2025学年高二下学期第一次月考数学参考答案题目ID：909112522743746560题目ID：971502560420564992【答案】1.C题目ID：971502566305177600【答案】2.C题目ID：971502574345654272【答案】3.B题目ID：971502578644815872【答案】4.D题目ID：971502585691250688【答案】5.C题目ID：971502592121118720【答案】6.A题目ID：971502599708610560【答案】7.B题目ID：971502603231825920【答案】8.A题目ID：9715026111255060489.【答案】BD题目ID：97150265660434432010.【答案】AB题目ID：97150266349139148811.【答案】BCD题目ID：97150266773183692812.【答案】−1题目ID：97150267379680051213.【答案】y=2题目ID：97150268092292300814.【答案】e24,+∞题目ID：97150268342692249615.【答案】（1）f(x)=x3−3x2+1（2）单调递增区间为(−∞,0),(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)（3）最大值为1，最小值为−19题目ID：97150269184489062416.（1）函数fx=x2+alnx，则函数f(x)的定义域为(0,+∞)．f′x=2x+ax=2x2+ax.       ①当a≥0时，f′x>0,故函数fx在(0,+∞)上单调递增；②当a<0时，在x∈0,−a2有f′x<0,故fx在0,−a2单调递减；在x∈−a2,+∞有f′x>0,故fx在−a2,+∞上单调递增．综上所述：当a≥0时，函数fx在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，函数fx在0,−a2上为单调递减，在−a2,+∞上为单调递减增（2）由gx=x2+alnx+2x，得g′(x)=2x+ax−2x2．若函数g(x)为1，+∞上的单调增函数，则g′(x)≥0在1，+∞上恒成立，即不等式2x+ax−2x2≥0在1，+∞上恒成立．也即a≥2x−2x2在1，+∞上恒成立．令φ(x)=2x−2x2，则φ′(x)=−2x2−4x．当x∈1，+∞时，φ′(x)=−2x2−4x<0，∴φ(x)=2x−2x2在1，+∞上为减函数，则φmax(x)=φ(1)=0所以a≥0，即a的取值范围为0，+∞．题目ID：97150269642087628817.【答案】（1）单调增区间为0,+∞，无单调减区间（2）−∞,3题目ID：97150270295979212818.（1）解：当a=2时，fx=12x2−lnx+1+2x，则f′x=x−1x+1+2，则f0=0，f′0=1，所以，函数fx在点0,0处的切线方程为y=x.（2）解：当a=1时，fx=12x2+x−lnx+1，该函数的定义域为−1,+∞，则f′x=x+1−1x+1=x+12−1x+1=xx+2x+1，当−10时，f′x>0，此时函数fx单调递增，所以，fx≥f0=0，即12x2+x≥lnx+1.（3）解：fx=12x2+ax−lnx+1，则f′x=x+a−1x+1，且f0=0，由题意可知，对任意的x≥0，fx≥f0=0.令gx=x+a−1x+1，其中x≥0，则g′x=1+1x+12>0，所以，函数gx在0,+∞上单调递增，所以，gxmin=g0=a−1.①当a−1≥0时，即当a≥1时，f′x≥f′0=a−1≥0，此时函数fx在0,+∞上单调递增，故当x≥0时，fx≥f0=0，合乎题意；②当a−1<0时，即当a<1时，由f′x=0可得x+a=1x+1，即x2+a+1x+a−1=0，此时Δ=a+12−4a−1=a2−2a+5>0，解得x1=−a+1−a2−2a+52，x2=−a+1+a2−2a+52，则x10，x>−23时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,−23)上单调递增，在(−23，+∞)上单调递减，当t+1⩽−23，即t⩽−53时，f(x)在[t−1，t+1]上递增，f(x)max=f(t+1)=(t+2)e−3(t+1)，当t−1<−230，∴m1′(x)>m1′(0)=0，即m1(x)在(0,1)上是增函数．∴10，得x>0，由m2′(x)<0，得0，x<1e，∴m2(x)在(0,1e)上递减，在(1e，1)上递增，∴−3e⩽m2(x)<0，∴1−3e