参照秘密级管理★启用前淄博市2024—2025学年度高三模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x2≤x,B=y∣y=2x,x>0,则A∪B=A.RB.[0,+∞)C.(0,1)D.0,12.若复数z满足z2+i=3−4i,则z=A.52B.55C.102D.1253.已知向量a=1,0,b=0,1,a⋅c=b⋅c=1,则向量a在向量c上的投影向量为A.12,12B.22,22C.−12,12D.−22,224.已知圆锥的母线长为6,其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形,则该圆锥的侧面积为A.8πB.12πC.16πD.24π5.某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.4.则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为A.0.24B.1C.0.5D.0.526.已知函数fx满足fx=2fx−1,当0≤x<1时,fx=3x,则flog318=A.2B.4C.8D.187.已知函数fx=2−2sinπx2,0≤x≤2−x+1,x<0,若存在实数x1、x2、x3且x10,当n=2时,是我们熟知的圆;当n=23时,曲线E:x23+y23=1是形状如“四角星”的曲线,称为星形线,常用于超轻材料的设计.则下列关于曲线E说法错误的是A.曲线E关于x轴对称B.曲线E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过18C.曲线E与x+y=1有8个交点D.曲线E所围成图形的面积小于2二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分.9.随机变量X服从正态分布N1,14,令函数fx=PX≥x,则下列选项正确的是A.f1=12B.fx是增函数C.fx是偶函数D.fx的图像关于点1,12中心对称10.如图,棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P,Q分别是棱CC1,棱BC的中点,动点M满足DM=λDA+μDD1,其中λ,μ∈R,则下列结论正确的是A.若λ+μ=1,则CM⊥DB1B.若λ=μ,则三棱锥B1−AMC的体积为定值C.若μ=12,0≤λ≤1,则直线PM与直线BC所成角的最小值为60∘D.若动点M在三棱锥C−DPQ外接球的表面上,则点M的轨迹长度为2π11.过点P−1,0向曲线Cn:x2−2nx+2y2=0n∈N∗引斜率为knkn>0的切线ln,切点为Pnxn,yn,则下列结论正确的是A.kn=n4n+2B.i=12025lnxi=−ln2026C.数列yn2xn2的前n项和为Sn=n+n2D.xn2yn+cos1−xn1+xn>1三.填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.12.已知等比数列an的各项为正数,前n项和为Sn,若S3=13,a3=9,则公比q=_____.13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B=15bcosB,且角B为锐角,b=8,sinA=13,则sin2B+C的值为_____.14.如图,在3×3的方格中,每一行随机设置1个陷阱(起点和终点处无陷阱).玩家从起点方格出发,每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格,则被重置回起点,然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战,直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点,则挑战失败.则该玩家挑战失败的概率为_____.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.(13分)某地为调查大型水域的水质情况,设置若干站点检测水质指数“M指数”,以这些站点所测“M指数”的平均值为依据,播报此大型水域的水质情况。下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图,其中分组区间分别为:[12,20),[20,28),[28,36),[36,44),[44,52),[52,60),[60,68),68,76.(1)规定:“M指数”不超过50为“优质水源日”,否则称为“非优质水源日”。对该地区50名外出郊游的市民进行调查,得到如下列联表:男市民女市民合计优质水源日出游1230非优质水源日出游6合计.350请完成上述列联表,并根据α=0.05的独立性检验,能否认为优质水源日出游与性别有关?(2)从“M指数”在第一组[12,20)和第二组[20,28)的所有天数中选取3天的数据进行评价,记这3天的数据来自第一组的数据有X天,求X的分布列和数学期望.附:χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82816.(15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0,离心率e=52,点P5,12在双曲线上.(1)求双曲线C的标准方程；(2)点F1,F2分别是双曲线C的左右焦点,过点F2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,若ΔABF1的周长为12,求直线l的方程.17.(15分)如图,在四棱锥S−ABCD中,BC//AD,AB=BC=1,点E在AD上,且SE⊥AD,AE=1,DE=2.(1)点F在线段SE上,且BF//平面SCD,证明:F为线段SE的中点;(2)若AB⊥平面SAD,SD与平面SAB所成的角的余弦值为1010,求SD的长度.18.(17分)已知函数fx=ln1+x−x.(1)求fx的单调区间；(2)证明:x≥0时,fx≤x1+x−x;(3)若不等式1+1nn+a≤e对任意的n∈N∗都成立(其中e是自然对数的底数),求整数a的最大值.19.(17分)一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数x=ft,y=gt,①并且对t的每一个允许值,由方程组①所确定的点Ax,y都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.例如圆x2+y2=r2的参数方程为x=rcosφ,y=rsinφ,(φ为参数),椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的参数方程为:x=acosθ,y=bsinθ,(θ为参数)动点Mx,y与定点F4,0的距离和点M到定直线l:x=254的距离的比是常数45,点M的轨迹方程为C.(1)求曲线C的普通方程,写出C的参数方程(不证明);(2)求证:sinα+sinβ=2sinα+β2cosα−β2；(3)定点P1在C上,k为常数且k>0,按如下规则依次构造点Pnn≥2,过点Pn−1做斜率k的直线与C交于点Qn−1,令Pn为Qn−1关于y轴的对称点,记Pn的坐标为xn,yn,证明:Pn+1Pn+2//PnPn+3.