四川省成都市2022级高中毕业班第二次诊断性检测数学答案

成都市级高中毕业班第二次诊断性检测２０２２数学参考答案及评分意见一、选择题:每小题分共分(５,４０)１．A;２．B;３．C;４．C;５．D;６．D;７．A;８．A．二、选择题:每小题分共分(６,１８)９．ACD; １０．ABD; １１．ABD．三、填空题:每小题分共分(５,１５)１２．１０;１３．－２;１４．２．四、解答题:共分(７７)解因为caC１５．:(１)３＝２sin,ca在ABC中由正弦定理可得△,C＝A,sinsin所以CAC．分３sin＝２sinsinƺƺ２因为C所以A３．分sin＞０,sin＝ƺƺ４２又A所以Aπ或２π．分∈(０,π),＝ƺƺ６３３由题意abc因为a所以bc．分(２)＋＋＝３＋３,＝３,＋＝３ƺƺ７在ABC中由余弦定理可得a２b２c２bcA△,＝＋－２cos,当A２π时b２c２bcbc２bcbc整理得bc．分＝,３＝＋＋＝(＋)－＝９－,＝６ƺƺ８３联立bc得b２b．此方程无实数解．分＋＝３－３＋６＝０ƺƺ１０当Aπ时b２c２bcbc２bcbc整理得bc．分＝,３＝＋－＝(＋)－３＝９－３,＝２ƺƺ１１３联立bc得b２b．解得b或b．＋＝３－３＋２＝０＝１＝２所以当A２π时b无解当Aπ时b或b．分,＝,;＝,＝１＝２ƺƺ１３３３．解连接AC交BD于点O连接EO．则EO是PAC的中位线从而EOPA１６:(１),△,∥,分ƺƺ２又因为EO平面EDBPA平面EDB分⊂,⊄,ƺƺ３所以PA平面EDB．分∥ƺƺ４数学参考答案第页共页 １(６)因为PD底面ABCD因为BC平面ABCD所以PDBC．(２)⊥,⊂,⊥因为ABCD是正方形所以CDBC．,⊥又PDCDD且PD平面PDCCD平面PDC∩＝,⊂,⊂,所以BC平面PDC．分⊥ƺƺ６因为DE平面PDC所以BCDE．⊂,⊥因为PDC是等腰直角三角形E是底边PC的中点所以PCDE．△,,⊥又PCBCC且PC平面PBCBC平面PBC∩＝,⊂,⊂,所以DE平面PBC．分⊥ƺƺ８因为PB平面PBC所以DEPB．⊂,⊥又EFPBEFDEE且DE平面EFDEF平面EFD⊥,∩＝,⊂,⊂,所以PB平面EFD．分⊥ƺƺ９在四棱锥PABCD中PD底面ABCDAD(３)－,⊥,,DC底面ABCD所以PDADPDDC由底面⊂,⊥,⊥,ABCD是正方形得ADDC,⊥,以D为原点DADCDP所在直线分别为xz轴,,,,y,建立如图所示空间直角坐标系,设DC则ABCP＝２,(２,０,０),(２,２,０),(０,２,０),(０,０,２),P→CCB→＝(０,２,－２),＝(２,０,０),CB→nxŰ,１,设平面CPB的法向量nxyz则＝０所以２＝０(１,１,１),＝{P→Cn．{yz．Ű＝０２１－２１＝０取y可得n是平面CPB的一个法向量．分１＝１,＝(０,１,１)ƺƺ１１DB→DP→而CA→＝(２,２,０),＝(０,０,２),＝(２,－２,０),则DB→CA→DP→CA→Ű＝２×２－２×２＝０,Ű＝０,即DB→CA→DP→CA→．所以平面PBD的一个法向量为CA→．分⊥,⊥＝(２,－２,０)ƺƺ１３nCA→因此nCA→Ű－２１分cos,＝nCA→＝＝－,ƺƺ１４‹›||||２×２２２所以平面CPB与平面PBD的夹角为π．分ƺƺ１５３．解由椭圆的定义结合x２y２x２y２aa知１７:(１),(＋１)＋＋(－１)＋＝２(＞１):椭圆C与抛物线Γy２pxp的共同焦点F的坐标为分:＝２(＞０)(１,０),ƺƺ１p则抛物线Γ的方程为y２x分＝１,＝４;ƺƺ３２由PF５不妨设点P在第一象限则点P的坐标为２２６．分||＝,,(,)ƺƺ４３３３数学参考答案第页共页 ２(６)æö２æö２记椭圆的左焦点F所以PF２ç５÷ç２６÷４９则PF７１(－１,０),|１|＝èø＋èø＝,|１|＝,３３９３所以PFPFa即acb．|１|＋||＝４＝２,＝２,＝１,＝３x２y２故椭圆C的标准方程为．分＋＝１ƺƺ６４３由题可知直线l的斜率不为故设直线l的方程为xmy(２),０,＝＋１,MxyNxyAxyBxy(１,１),(２,２),(３,３),(４,４),由MFNFAFBF||Ű||＝２||Ű||,得m２ym２ym２ym２y１＋|１|Ű１＋|２|＝２１＋|３|Ű１＋|４|,即yyyy．分|１２|＝２|３４|ƺƺ９xmy,联立＝＋１得y２my恒成立所以yy．分,,１２ƺƺ{y２x－４－４＝０Δ＞０＝－４１１＝４ïìxmyï＝＋１,２２联立í２２得mymy恒成立所以yy－９．xy(),,３４２ï３＋４＋６－９＝０Δ＞０＝mî＋＝１３＋４４３分ƺƺ１３由yyyy得９解得m６．|１２|＝２|３４|,４＝２×m２,＝±３＋４６所以直线l的方程为xy或xy．分６－－６＝０６＋－６＝０ƺƺ１５．解设事件A一轮答题中系统派出通识题事件B该选手在一轮答题中答对１８:(１)＝“”,＝“”,由题意可知PBA３PBA－１分(|)＝,(|)＝,ƺƺ１５５由全概率公式得PBPAPBAPA－PBA－１３２１１．()＝()(|)＋()(|)＝×＋×＝３５３５３分ƺƺ３故该选手在一轮答题中答对题目的概率为１．分ƺƺ４３设事件Bn该选手第n轮答对题目(２)＝“”,因为各轮答题正确与否相互独立(i),由知PBn１那么PBnPBn２(１):()＝,()＝１－()＝,３３当n时挑战显然不会终止即p＝１,,１＝１,当n时则第轮至少答对一轮pPBBPBPB５＝２,１,２,２＝１－(１２)＝１－(１)(２)＝,９由概率加法公式得pPBpPBBpPBpPBPBp３＝(３)２＋(２３)１＝(３)２＋(２)(３)１数学参考答案第页共页 ３(６)１５１２１１分＝×＋××１＝,ƺƺ７３９３３２７同理pPBpPBBpPBpPBPBp４＝(４)３＋(３４)２＝(４)３＋(３)(４)２１１１１２５７．分＝×＋××＝ƺƺ１０３２７３３９２７设事件Cn第n轮结束时挑战未终止(ii)＝“”,当n时第n轮结束时挑战未终止的情况分为两种≥３,:第n轮答对且第n轮结束时挑战未终止①,－１;第n轮答错第n轮答对且第n轮结束时挑战未终止．②,－１,－２所以第n轮结束时挑战未终止可表示为CnCnBnCnBnBn＝－１∪－２－１,所以PCnPCnPBnCnPCnPBnBnCn()＝(－１)(|－１)＋(－２)(－１|－２),因为各轮答题正确与否相互独立,所以PCnPCnPBnPCnPBnBn１PCn２PCn()＝(－１)()＋(－２)(－１)＝(－１)＋(－２),３９即当n时有pn１pn２pn．分≥３,＝－１＋－２ƺƺ１４３９设存在实数λ使得数列pnλpn是公比为qq的等比数列,{＋１－}(≠０),当n时有pnλpnqpnλpn整理得pnλqpnλqpn≥２,(＋１－)＝(－－１),＋１＝(＋)－－１,ïìïìïìλq１λ１λ２ï＋＝,ï＝－,ï＝,结合递推关系pn１pn２pn得í３解得í３或í３＋１＝＋－１,ïïï３９ïλq２．ïq２．ïq１．î－＝î＝î＝－９３３分ƺƺ１６当n时有p２p１p１p８＝１,２－１＝－,２＋１＝,３９３９当λ２时数列pn２pn是首项为１公比为１的等比数列＝,{＋１－}－,－,３３９３当λ１时数列pn１pn是首项为８公比为２的等比数列＝－,{＋１＋},,３３９３所以存在实数λ２或１使得数列pnλpn为等比数列．分＝－,{＋１－}ƺƺ１７３３．解即证明a都有a２a２a２．１９:(１)∀≥０,１＋≤(＋１)≤２(１＋)因为a２a２a所以a２a２．分(＋１)－(１＋)＝２≥０,(＋１)≥１＋ƺƺ２因为a２a２a２aa２所以a２a２．２(１＋)－(＋１)＝－２＋１＝(－１)≥０,(＋１)≤２(１＋)所以集合abab具有性质１．分{(,)|≥０,＝１}(,１)ƺƺ４２数学参考答案第页共页 ４(６)因为abab(２)≥０,≥０,＋＝１,a２b２a２b２a２b２ab２abab２(１＋)(１＋)＝１＋＋＋＝１＋(＋)－２＋()abab２ab２．分＝２－２＋()＝(１－)＋１ƺƺ５ab令uab因为ab＋１所以u５．分＝１＋,≤＝,∈[１,]ƺƺ６２２４于是u５有Ku２uKu２成立．∀∈[１,],１[(２－)＋１]≤≤２[(２－)＋１]４u即KK．１≤u２≤２(２－)＋１也就是u５有K１K成立．分∀∈[１,],１≤≤２ƺƺ８４u５＋u－４令fuu５u５()＝＋u－４,∈[１,],４因为fu在５单调递减所以５f５fuf．()[１,],＝()≤()≤(１)＝２４４４从而１１４．≤≤２u５５＋u－４所以K４当且仅当ab１时取等K１当且仅当a或b时取等．２≥,＝＝;１≤,＝０＝０５２２KK４１３所以KK的最小值为３．分２－１≥－＝,２－１ƺƺ１０５２１０１０abab由题意K(＋)(１＋)K．(３)１≤a２b２≤２(１＋)(１＋)注意到ababaa２bbab２ab２ba２．(＋)(１＋)＝＋＋＋＝(１＋)＋(１＋)ab所以K．又a２ab２b２≥a２＋b２１＋≥２,１＋≥２,１＋１＋所以K１１当且仅当ab取等满足a３b３２≥＋＝１,＝＝１(＋＝２),２２所以K的最小值为．分２１ƺƺ１２因为aba３b３所以a３b３a３b３于是ab．≥０,≥０,＋＝２,２＝＋≥２,０≤≤１又a３b３abab２ab２＝＋＝(＋)[(＋)－３],s３令sabtab则ss２t即t－２．分＝＋,＝,(－３)＝２,＝sƺƺ１３３s３又ab所以－２．解得３s．０≤≤１,０≤s≤１２≤≤２３数学参考答案第页共页 ５(６)ababababstst所以(＋)(１＋)(＋)(１＋)(１＋)(１＋)a２b２＝ab２ab２＝s２t２≥s２(１＋)(１＋)(＋)＋(１－)＋(１－)＋１s３s－２(１＋s)s３s３＋３－２．分＝s２＝s２ƺƺ１４＋１３(＋１)s３ss４s令gs＋３－２s３则g′s＋４＋３于是gs在３单调()＝s２,∈[２,２],()＝s２２＞０,()[２,２]＋１(＋１)３ababgsg３３递增又g３３２所以(＋)(１＋)()(２)２．,(２)＝３２,a２b２≥≥＝３２(２)＋１(１＋)(１＋)３３(２)＋１当且仅当ab３或a３b时等号成立．＝０,＝２＝２,＝０３所以K的最大值为２．分１３２ƺƺ１６(２)＋１又K的最小值为２１,K３所以１的最大值为２．分K３２ƺƺ１７２(２)＋１数学参考答案第页共页 ６(６)