湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中、江夏区第一中学、洪山高级中学2024-2025学年高二下学期2月联考数学

汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年度下学期2月联考高二数学试卷考试时间：2025年2月25日上午8：00--10：00试卷满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把抛物线化成标准方程再求出焦点坐标即可.详解】由抛物线可得，可得焦点坐标为.故选：D.2.已知直线与平行，则（）A.或3B.0或3C.0或D.或0或3【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的条件，列式计算并验证得解.【详解】由直线与平行，得，解得或或，当时，两直线重合，不符合题意；第1页/共20页或符合题意，所以或.故选：B3.记为等比数列的前项和，若，则（）A.63B.64C.127D.128【答案】C【解析】【分析】利用基本量法可求首项和公式，再利用求和公式可求.【详解】由条件可知，的公比，由题意得，，解得，所以．故选：C.4.已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值.【详解】设点、，由题意可得，因为点是的中点，则，因为，这两个等式作差可得，第2页/共20页所以，，因此，双曲线的离心率为.故选：D.5.如图，已知平行四边形，，且，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则A与C之间距离为（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可.【详解】已知平行四边形，，且，，，平面与平面所成角的余弦值为，，，，，则，即与之间距离为，故选：C．第3页/共20页6.已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解.【详解】由，则，令，则，由，解得，所以当时，，当时，，即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，又，，所以，即为数列的最小值，故当取得最小值时，.故选：B7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（）A.直线上B.圆上C.抛物线上D.椭圆上【答案】B【解析】【分析】根据已知将化为，在底面内构建如下图示的直角坐标系，应用向量数量积的坐标表示求动点轨迹.第4页/共20页【详解】由，由平面，平面，则，所以，底面是边长为的正方形，在平面内构建如下图示的直角坐标系，则，设，则，所以，即动点在圆上.故选：B8.定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积.【详解】设，则“椭圆”方程是，即，将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称；将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称；将换为，换为可得，即，所以“椭圆”关于原点对称；研究“椭圆”在第一象限图象，第5页/共20页当时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，，当时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，，结合曲线的对称性，“椭圆”大致图象如图：四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为，所以梯形面积为，所以“椭圆”面积为故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情形.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若方程，所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（）A.曲线C可以表示圆B.若曲线C是椭圆，则C.曲线C不可能表示直线D.若，则C为双曲线【答案】ACD【解析】【分析】当时，化简方程可判断出正确；曲线是椭圆，则，解出可判断不正确；由第6页/共20页，，，可判断出正确；若，则，可判断出正确．【详解】当时，方程，化为，表示圆，所以正确；曲线是椭圆，则，解得，所以不正确；由，，，所以曲线不可能表示直线，所以正确；若，则，为双曲线，所以正确；故选：ACD10.已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.异面直线与所成的角的余弦值为D.直三棱柱的外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算的坐标和的坐标即可判断A，计算平面的第7页/共20页法向量，计算即可判断B，由分别计算即可判断C，对于D先计算出外接球的半径，根据球的表面积公式即可判断D.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则.对于A：，所以，故A正确；对于B：，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正确；对于C：，则，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；对于D：因为，直三棱柱的外接球的半径为，则有，所以直三棱柱的外接球的表面积为，故D正确.故选：ABD.第8页/共20页11.（多选）已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（）AB.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A，只需要依次对赋值计算即得；对于B，先推理得到，由得，从而得数列为公差为1的等差数列，由通项公式计算即得；对于C，利用错位相减法求和即得；对于D，根据条件将分成奇数项和偶数项分别求和，利用C项结论和等比数列的求和公式计算即得.【详解】对于A，由，因，可得，，故A正确；对于B，当时，（*），因，则，故由（*）可得，则，即数列为公差为1的等差数列，则有，可得，故B正确；对于C，由，可得，上面两式相减可得第9页/共20页，可得，故C错误；对于D，由，，可得：，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线与直线有公共点，则k的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】通过化简知曲线是圆心为，半径为的上半圆，再借助数形结合的方法，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果.【详解】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的上半圆，如图所示：第10页/共20页当直线与半圆相切时，设切线倾斜角为，，则，∴切线的斜率，所以曲线与直线有公共点，则k的取值范围是.故答案：.13.设是数列的前项和，且，则__________.【答案】##【解析】【分析】先根据再化简得出，即可求出通项公式再计算即可求值.【详解】因为，左右同时乘以，则，又因为，所以是以1为首项以1为公差的等差数列，所以，所以，所以.故答案为：.14.如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为___________.第11页/共20页【答案】【解析】【分析】根据给定条件，过切点E，F作出双球模型的轴截面，利用圆的切线性质及椭圆的定义求解作答.【详解】过切点E，F作出双球模型轴截面，设球分别与圆锥的同一条母线切于A，B两点，有，过作于点C，则四边形是矩形，于是，，又，从而，设直线AB与平面的交点为P，则有，，所以椭圆的长轴长.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上.（1）求圆A的标准方程；第12页/共20页（2）求过点且与圆A相切的直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程.（2）判断直线符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案.【小问1详解】设圆心为，半径为r，由，得，得，点A的坐标为，圆半径，圆A的标准方程为；【小问2详解】画出圆的图象如下图所示，由图可知，直线过点，且与圆相切，当过点与圆相切的直线斜率存在时，设切线方程为，到直线的距离，解得，所以切线方程为.综上所述，切线方程为或.第13页/共20页16.记为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）若，求整数的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论；（2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可.【小问1详解】已知，，，是以为首项、为公比的等比数列，第14页/共20页．【小问2详解】由（1）可知，，，，；由，可得，为整数，的最小值为2026．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面，点在棱PB上，且平面ACE.（1）求证：为PB的中点；（2）求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点，连接EF，由平面，得到，再由为BD的中点证明；（2）先证明OF，OC，OP两两垂直，再以为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面ACE的法向量为，易知是平面ACD的一个法向量，由第15页/共20页求解.【小问1详解】证明：连接BD交AC于点，连接EF，因为底面ABCD是矩形，所以为BD的中点，因为平面平面PBD，平面平面，所以，又因为为BD的中点，所以为PB的中点.【小问2详解】解：取CD的中点，连接PO，FO，因为底面ABCD为矩形，所以，因为为CD的中点，所以，，所以，又因为平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，所以，所以OF，OC，OP两两垂直.以为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可得，，则，由上可知为平面ACD的一个法向量，第16页/共20页设平面ACE的法向量为，则令，则，所以，所以，所以平面ACE与平面ACD夹角的正弦值为.18.已知椭圆：上的点到焦点距离最短为，到焦点距离最长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，进而解出，求得，进而求解即可；（2）当直线的斜率不存在，可得，当直线的斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式表示出，进而结合基本不等式求解即可.【小问1详解】由题意，，解得，则，第17页/共20页所以椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，，，当直线的斜率不存在时，，则；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，设，则，所以，，由于异号，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为．综上所述，的最大值为．第18页/共20页19.已知抛物线（为正整数），为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，记点的纵坐标分别为（其中）．（1）证明：成等差数列；（2）若，记等差数列的公差为．（i）用和表示；（ii）初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最大公约数为1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数．请用该定理证明下面的问题：若为正奇数，为正整数，且这三个数两两之间的最大公约数都为1，证明：一定可以表示为某两个正整数的平方之和．【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）设