学易金卷2025年高考考前押题密卷数学（全解全析）

2025年高考考前押题密卷数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，则.故选：B2．已知复数满足，则（    ）A． B．3 C． D．5【答案】D【分析】先根据复数的除法求出复数，再根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可得解.【详解】由，得，所以，所以.故选：D.3．若，则（ ）A．1 B．32 C．81 D．243【答案】D【分析】在所给的式子中，令可得选项.【详解】在中，令得，故选：D.4．已知F是抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于，则（   ）A．6 B．8 C．12 D．14【答案】C【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出，列出方程求解即得.【详解】依题意，设点，而抛物线C：的准线方程为，则，点到直线的距离和为，因此，所以.故选：C5．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（    ）.A．m2 B．m2 C．m2 D．m2【答案】C【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径和母线,根据侧面积公式即可求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面,由题意,底面圆半径,母线,所以侧面积.故选：C.6．已知函数，则下列结论错误的是（    ）A． B．的零点为3C．在上为增函数 D．的定义域为【答案】C【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果.【详解】,可知函数的零点为3，可知A,B正确；中，由，解得：，故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.故选：C7．直线：被圆：截得的最短弦长为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】首先确定直线过的定点，然后明确直线何种情况下被圆截得的弦长最炫，由此计算即可.【详解】直线：即为，当时，，故直线线过定点，设该点为P,又，故点在圆内，当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短，而即，半径，圆心为,故,故弦长为，故答案为：2.8．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法证明即可得.【详解】若为递增数列，当，且时，有，此时为递增数列，当对任意,，故“为递增数列”不是“存在正整数，当时，”的充分条件；若存在正整数，当时，，此时，，故，，假设存在，使得，则有，则，又且，故，则当时，，与条件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即对任意的，，即为递增数列，故“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要条件；综上所述，“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要不充分条件.故选：B.9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的定义可求出的值，再根据诱导公式求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故选：D.10．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解.【详解】由题意知，，当时，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知函数在上是奇函数，当时，，则.【答案】/【分析】根据奇函数的定义得到，代入求解即可.【详解】函数在上是奇函数，，.故答案为：.12．在正项等比数列中，，则．【答案】2【分析】由正项等比数列性质，有，则.【详解】正项等比数列中，，则.故答案为：213．双曲线的离心率为，则，过双曲线的右焦点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】【分析】根据离心率直接计算b，再由双曲线的几何性质可得.【详解】由，所以，由双曲线渐近线为可知，，所以．故答案为：1；214．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是；的最大值是.  【答案】2【分析】建立以点为原点的坐标系，设，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示，，最后用辅助角公式求最值【详解】建立如图所示坐标系，  则，设，由,化简得:，（1）,则当时,最大，值为（2）其中且为第一象限角则当时,最大，值为故答案为：；15．设函数，函数．则下列说法正确的是（    ）A．当时，函数有3个零点B．当时，函数只有1个零点C．当时，函数有5个零点D．存在实数，使得函数没有零点【答案】=1\*GB3\*MERGEFORMAT①=2\*GB3\*MERGEFORMAT②=3\*GB3\*MERGEFORMAT③【分析】当时，得或，当时，，问题转为，的交点个数，结合图象可得答案.【详解】函数的零点个数即方程异根的个数，当时，，则，，由，有，所以或，当时，，则，，由，有，所以，所以问题转为，的交点个数，作出函数图象可知：当，即时，有3个交点，即函数有4个零点，当，即时，有4个交点，函数有5个零点，当时，只有，函数只有1个零点，当或即或时，有2个交点，函数有3个零点，无论实数取何值，使得函数总有零点．故选：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①=2\*GB3\*MERGEFORMAT②=3\*GB3\*MERGEFORMAT③．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。16．如图，在平面四边形中，，，，．(1)求的长；(2)求的正弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理即求；（2）利用正弦定理即得.【详解】（1）在中，由余弦定理可知：,（2）在中，由正弦定理可知：，即：.17．如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.  (1)证明：(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离．①；②【答案】(1)证明见解析(2)二面角的余弦值为，点A到平面BPC距离为【分析】（1）先确定正方形沿对角线折起后的不变关系，再证明平面，即得；（2）由所选条件先证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，进而利用向量法可求二面角的余弦值及点到平面的距离．【详解】（1）证明：正方形沿对角线折起后的不变关系为.连接，，如下图：  因为，所以，同理得，又因为平面且，所以平面，因为平面，所以.（2）若选择①，，因为，所以，因为，所以，由（1）可得，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：  则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取时，，即，因为平面，所以平面的一个法向量，于是，，所以结合图像可知，二面角的余弦值为.，，点到平面的距离，所以A到平面的距离为.若选择②，由（1）得，，，平面，，所以平面，又平面，所以，因为，所以，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：  则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取时，，即，因为平面，所以平面的一个法向量，于是，，所以结合图像可知，二面角的余弦值为.，，点到平面的距离，所以A到平面的距离为.18．2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：展区类型新一代信息技术展环保展新型显示展智慧城市展数字医疗展高端装备制造展展区的企业数量/家6036065045070990备受关注率0.200.100.240.300.100.20(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)(3)，分布列见解析.【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可求解；（2）利用条件概率和全概率公式计算即可求解；（3）求出“新一代信息技术展”、“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量，确定X的值，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，结合数学期望计算公式求解即可.【详解】（1）根据统计表，所有展区的企业数量为，其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为．所以所求概率为．（2）用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”，则．（3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为，“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为．易知所有可能的取值为0，1，2．所以，，．故的分布列为012则．19．已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若的平分线经过点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件和椭圆的性质解方程组可得；（2）设直线方程，由点在角平分线上结合到角公式（或斜率公式）可得；然后设设的方程为，直曲联立，用韦达定理表示化简得到和直线经过定点，再代入方程①得到；最后利用弦长公式表示出三角形的面积再结合基本不等式求出最值.【详解】（1）由条件得，解得，所以椭圆的方程为；（2）由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设，点的坐标为，所以，化简得到.由已知得到直线的斜率存在，设的方程为，，联立方程组，得，①，，由，得到，所以，得，根据韦达定理得，化简得，即或.又当时，直线经过点，不符合题意，因此，，直线经