湖南师范大学附属中学2025届高三下学期4月模拟（一）数学试卷 Word版含解析

湖南师大附中2025届模拟试卷（一）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】【分析】根据题意，联立方程组，求得交点的坐标，确定集合，即可求解.【详解】由题意，集合，联立方程组，整理得，解得或，当时，可得；当时，可得，所以，即中元素的个数为2个.故选：B.2.若复数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第1页/共21页【分析】利用复数的四则运算性质结合共轭复数的定义得到，再利用复数的模长公式求解即可.【详解】因为，所以，，则，所以，故A正确.故选：A3.函数的最小正周期是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质求解.【详解】因为函数的最小正周期，所以函数的最小正周期为.故选：B.4.若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用单位向量的定义结合数量积的定义求出，，，最后利用数量积的定义求解夹角即可.【详解】因为是夹角为的单位向量，，，所以，，第2页/共21页而，故，，故，所以，而，解得，则向量与的夹角为，故C正确.故选：C5.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的离心率为，由求解.【详解】由题意双曲线，所以，，由计算得：，又因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线的方程为，其渐近线方程为．故选：B.6.一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（）第3页/共21页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.【详解】如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径，则球心到圆锥底面圆心距离，由，得，圆锥的体积，求导得，当时，，函数在上递增，当时，，函数在上递减，则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径.故选：B7.已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（）A.B.C.36D.27【答案】D【解析】【分析】根据求出，再根据余弦定理求出，再根据面积公式求解.【详解】因为，且，所以，第4页/共21页由余弦定理得：，即即，即，所以，所以的面积为.故选：D.8.已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（）A.7B.C.9D.【答案】B【解析】【分析】将函数看作是两个函数的函数值之差的绝对值，结合图象分析当取到最小值时，直线所在位置，从而得出的值.【详解】函数在区间上的最大值，可看作是函数与在区间上函数值之差的绝对值的最大值.函数在区间上的两个端点,直线的方程为.设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，，令，解得或（舍去），切点坐标为，代入直线方程，可得，所以切线方程为.第5页/共21页由图像可知，直线在函数图象上方或下方时的值大于直线与函数图象相交时的值，所以要使取到最小值，直线在直线和直线的中间，即直线，此时，，所以.故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（）A.圆的半径B.直线与圆相交C.直线不可能将圆的周长平分D.直线被圆截得的最短弦长为【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据条件得到圆心为，半径为，即可求解；对于B，根据条件可得直线过定点，且定点在圆内，即可求解；对于C，当直线过圆心时，直线平分圆，即可求解；对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，由弦长公式，即可求解.【详解】对于选项A，由，得到，所以圆圆心为，半径为，所以选项A错误，第6页/共21页对于选项B，由，得到，由，得到，所以直线过点，又，所以点在圆内，故直线与圆相交，则选项B正确，对于选项C，当直线过点，即时，直线平分圆的周长，所以选项C错误，对于选项D，当时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最短，此时弦长为，所以选项D正确，故选：BD.10.双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（）A.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数B.C.函数的值域为D.【答案】ACD【解析】【分析】由函数的奇偶性即可验证A；结合指数运算计算化简即可判断B；化简指数运算及指数函数值域即可判断C.首先判断函数的单调性，再设，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断D；【详解】对于A，，定义域为，，所以为奇函数，第7页/共21页，定义域，，所以为偶函数，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，，，所以，，所以，C选项正确；对于D：因，所以在上单调递增，设，，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以，，故D正确；故选：ACD.11.古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以第8页/共21页．则（）A.crdB.若，则C.D.crd【答案】AC【解析】【分析】根据所给定义即可结合选项逐一求解.【详解】因为，所以，对于A，圆心角所对弦长为，故A正确，‘’对于B，若，则，故，B错误，对于C，圆心角所对的弦长为，故，C正确，对于D，根据三角形两边之和大于第三边可知：所对的弦长之和大于所对的弦长，所以，（），故D错误，故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若指数函数满足，则_____．【答案】27【解析】【分析】令且，根据题设得，即可求解.【详解】令且，因为，则，即，解得或（舍），所以，则，故答案为：.13.从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则_____．【答案】第9页/共21页【解析】【分析】利用分类计数加法原理，根据条件概率公式直接求解即可.【详解】由题意，在1∼15这15个数字中，5的倍数有5、10、15，共3个，所以事件发生的概率，记事件表示“第一次抽到数字为5的倍数且第二次抽到的数字小于第一次”.若第一次抽到5，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法；若第一次抽到10，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法；若第一次抽到15，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于15的卡片，有14种抽法.所以.根据条件概率公式，.故答案为：.14.已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____．【答案】1【解析】【分析】求出抛物线焦点的坐标，设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及求出n的值，然后联立直线OM与直线AB的方程求出点M的坐标，代入面积公式，最后化简并利用基本不等式求最大值.【详解】由题意知，可设直线AB的方程为，，第10页/共21页将代入，可得，即，则，则，因为，，所以，化简得，解得或（时直线过原点，舍去），则直线AB的方程为，因为，所以设直线OM方程为：，联立两直线方程，所以，因为函数为奇函数，且当时，（当且仅当时等号成立），所以，则（当且仅当时等号成立）.所以面积的最大值为1.故答案为：1四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．评价性合喜不喜别计欢欢第11页/共21页男15性女性合50100计（1）根据所给数据，完成上面的列联表；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望．附：．0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析（2）能认为性别因素与评价结果有关系（3）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据题意求得男性和女性的人数，进而得到的列联表即可.（2）根据的列联表的数据，求得的值，结合附表，进行独立性检验求解即可.（3）结合题意求出概率，进而列出分布列，求解数学期望即可【小问1详解】第12页/共21页由题意，男性有人，女性有人，可得的列联表，如下表所示：喜欢不喜欢合计男性153045女生352055合计5050100【小问2详解】设零假设性别因素与评价结果无关，由的列联表，可得，所以依据的独立性检验，可推断不成立，即能认为性别因素与评价结果有关系.【小问3详解】由题意得随机选取的3人中，不喜欢的有人，喜欢的有人，则的所有取值可能为，且评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，则，，，，故分布列如下表：故数学期望为.第13页/共21页16.已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．（1）用表示；（2）若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）求导函数，将切点横坐标代入，得切线的斜率，写出切线方程并计算其与x轴交点的横坐标，写出即可.（2）由与的关系，得与的关系，证明数列成等比，先写出的通项公式，再利用写出的通项公式即可.【小问1详解】因为，所以，则曲线在点处的切线方程为，将点代入方程，得，因为为正实数，所以为正实数，.【小问2详解】因为，所以，，由题意得，则，而，第14页/共21页则，故为公比为的等比数列，且，得到，故，两边取指数得到，解得.17.如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据已知结合余弦定理得出，再由线面垂直的性质有、，进而有平面.；（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，应用向量法求面面角的余弦值结合函数单调性即可求出范围.【小问1详解】因为所以，所以，所以，第15页/共21页由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面.【小问2详解】由于，且平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，且是四边形（不含边界）内的动点,．所以，即，设，所以．设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为．设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为．第16页/共21页设平面与平面所成角为则，令，则，因为在上单调递减，所以，所以.所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围.18.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.（1）设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；（2）若，证明：直线与直线的交点在定直线上.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值.（2）由题意求出椭圆