和平区2022-2023学年度第一学期数学期末质量调查参考答案及评分标准

和平区2022—2023学年度第一学期期末质量调查17.(15分)高三数学试卷参考答案及评分标准以点D为原点，DAD,C,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dx−yz，则BCCE(22,,0),(0,,2,0),(0,,2,3),(120)1，---------------------2分一、选择题（95分=45分）123456789（Ⅰ）证明：∵E是棱BC的中点，∴E(1,20,)，DCDE==(02,3),(1,2,0),,ABDADCCAB1设平面C1DE的一个法向量为nx=yz(),,，二、填空题（65分=30分）10.211.6012.xy+−2=30n=DE02yz+=30则n=(6,−3,2)，---------------------------------------------4分13.814.62715.318xy+=20；；n=DC1055025三、解答题（共75分）∵BD1=(−2,−2,3)，∴nBD=−++=12623320，∴n⊥BD1，---------------5分16．（14分）又∵平面，∴平面；分aAAcossinBD1BD1--------------------------------6解：（Ⅰ）因为==，所以2sinAABBA−=sincossincos,----------1分bBB2cossin−z所以2sin=sincos+sincosAABBAABC=sin(+)=sin,-------------------------------------2分aAsin1由正弦定理有==.--------------------------------------------------------------------------3分cCsin21164aa22+−（Ⅱ）由余弦定理可得=,整理可得32160aa2+−=,解得a=2,----5分48ayDC115因为cosCC=,∈（0,），所以sinC=.---------------------------------------------6分E44ABx1115所以△ABC的面积SabC△ABC===sin2415．---------------------------8分224（Ⅱ）解：∵平面ABCD的一个法向量为CC1=(00,3),，----------------------------7分15115（Ⅲ）由于，分sin22sincos2CCC===--------------------------------------10CCn12448∴cos==CCn1,，-------------------------------------------------------------9分||||CCn1722173535cos22cos1CC=−=21=−−,---------------------------------------------------12分sin=CCn,，tan=CCn,，--------------------------------------------10分48171235∴平面与平面的夹角的正切值；-------------------------------------11分πππ711537+352因此cos2cos2CCB+cos=−=−sin2sin−=−．----14分333828216（Ⅲ）解：因为AD1=(−−20,,3)，------------------------------------------------12分||ADn|(−2,0,−3)(6,−3,2)|18所以点A到平面的距离为1==．-------15分1||n77高三年级数学答案第1页（共6页）高三年级数学答案第2页（共6页）an+118.(15分)（Ⅱ）解：n+1，分cn==n---------------------------------------------------------------------5b2n4（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，Cc2341n+S=++++，n444423n因为的短轴的一个端点的坐标为(02,)−，所以b=2，ac22−=4，1231nn+，分Sn=++++---------------------------------------------------------------6c244444231nn+因为e==，所以ac=2．得c=2，所以a=22，----------------------3分a2111−xy22321111n+111644nn+14111n+所以椭圆的方程为+=1．分可得S=++++−=+−=+−−()---------------------------------------------------4n231nn+1n+1nn++1184444444241−2316444（Ⅱ）证明：设直线MN的方程为y=k(x−4)(k0)，MxyNxy()1122,(),,，--5分73n+7=−------------------------------------------------------------------------8分1234n+1y=−k(x4)联立，消去y整理得：(12163280+−+−=kxkxk2222)．---------6分22所以737n+．分xy+=28Sn=−------------------------------------------------------------------------------9994n1由0可得k2．-------------------------------------------------7分1532n+2,n为奇数,（Ⅲ）解：d=nn(2)4+n+1------------------------------------------------10分22n16k328k−n则xx+=，xx=，--------------------------------------------------9分nn+2,为偶数.1212+k21212+k2153216(2)11nnn++−则当为奇数时，d===−．分yy12k(xk12−−x44)()nnnnnn++−+1111----------11所以kk12+=+=+------------------------------------11分n(2)4(2)44(2)4nn+++nnnxxxx1212−−−−2222Tdddddd2132nnn=+++++++()()1242−，(xxxx−−+−−4242)()()()=k1221(xx12−−22)()设Adddnn=+++1321−，Bdddnn=+++242，1111112xx−6(x+x)+16则Adddnn=+++1321−=−+−++−=k1212------------------------------------------------------------------13分140342342544(2nn−1)42nn−2(2+1)42(xx−−22)()121=−1，-----------------------------------------------------------------------13分(21)4n+2n将，代入上式分子中得：32816kk22−261626160xxxx−++=(−)+=，12121++21kk222=(246++++2)(444n++23+++4)nn即kk12+=0，nn(2+−2)4(14)=+21−4所以kk12+为定值，且．--------------------------15分44n+1−---------------------------------------------------------------------------14分19.(15分)=++nn(1)3（Ⅰ）解：a+a+12=a+，可得a=1，于是an=．-----------------------------------2分14n+1−41111nT=A+B=1−+n(n+1)+2nnn(2n+1)42n3设数列{}b的公比为q，则由b=bb得b=bbqq2，可得bq=，n1231111n+1n24111−=+−nn+．--------------------------------------------------------------15分22n3(21)16n+又a4==−44b12b=−4qq，即(2)0q−=，bq1==2，可得bn=2．-------------4分高三年级数学答案第3页（共6页）高三年级数学答案第4页（共6页）20.(16分)（Ⅲ）解：显然xa0,0．x（Ⅰ）解：hxfxgxxxx()()()ln1=−=−+−2的定义域为(0),+，--------------------1分2eln()lnaafxx2x+=≥恒成立，即2elnlnlnaxa2x≥−=恒成立，a2x121(1)(21)−++−+xxxxxx2xx且hxx()21=−+==−，------------------------------------------2分于是2exln2x≥恒成立即2elnlnex≥a恒成立．--------------------12分xxxaaa当01x时，hx()0；当x1时，hx()0，xx设ux()xe=，则ux(2u)ln≥恒成立．----------------------------------------13分a所以hx()在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，-------------------------------------4分而u(x)=+(x1)ex，可得ux()在(,−1)−单调递减，在(1,−+)单调递增，所以x=1是的极大值点，且x0时，ux()0，x0时，ux()0，故的极大值为h(1)1=−，没有极小值．-------------------------------------------------5分xxx由可得恒成立，即2x对恒成立，于是恒成立，220x2lxn≥e≥a≥2x（Ⅱ）证明：设直线l分别切fx(g)x(),的图象于点(xxl11n,)，(x1222x)x,−+，aae即x．分11a≥2x------------------------------------------------------------------------14由f(x)=lnx可得fx()=，得l的方程为yxxx−=−l(n11)，emaxxx1x12−x设，则，1vx()x(0=)2xvx()=2x即lyxx:ln1=+−1；-----------------------------------------------------------------------------6分eex111可得vx()在0,单调递增，在,+单调递减，----------------------------------15分由g(x)=x2−x+1可得gx(x)21=−，221111则vxv()==，于是a≥，因此实数a的最小值为．---------16分22max得的方程为yxxxxx−−+=−−(1)(21)()2222，即lyxxx:(21)1=−−+22．------------7分