数列通项公式题型汇总TOC\o1-3\h\z\uHYPERLINK\l_Toc146726880题型1公式法 PAGEREF_Toc146726880\h1HYPERLINK\l_Toc146726881题型2累加法 PAGEREF_Toc146726881\h2HYPERLINK\l_Toc146726882题型3累乘法 PAGEREF_Toc146726882\h4HYPERLINK\l_Toc146726883题型4已知前n项和Sn消Sn型 PAGEREF_Toc146726883\h5HYPERLINK\l_Toc146726884题型5已知前n项和Sn消an型 PAGEREF_Toc146726884\h7HYPERLINK\l_Toc146726885题型6待定系数法 PAGEREF_Toc146726885\h8HYPERLINK\l_Toc146726886题型7与概率结合问题 PAGEREF_Toc146726886\h10HYPERLINK\l_Toc146726887题型8倒数法 PAGEREF_Toc146726887\h11HYPERLINK\l_Toc146726888题型9同除型 PAGEREF_Toc146726888\h12HYPERLINK\l_Toc146726889题型10因式分解型 PAGEREF_Toc146726889\h14HYPERLINK\l_Toc146726890题型11新数列前n项和型 PAGEREF_Toc146726890\h14HYPERLINK\l_Toc146726891题型12取对数型 PAGEREF_Toc146726891\h16HYPERLINK\l_Toc146726892题型13三阶递推型 PAGEREF_Toc146726892\h17HYPERLINK\l_Toc146726893题型14前n项积求通项 PAGEREF_Toc146726893\h18HYPERLINK\l_Toc146726894题型15函数递推型 PAGEREF_Toc146726894\h19HYPERLINK\l_Toc146726895题型16周期数列型 PAGEREF_Toc146726895\h21HYPERLINK\l_Toc146726896题型17奇偶讨论型 PAGEREF_Toc146726896\h21HYPERLINK\l_Toc146726897题型18不动点法 PAGEREF_Toc146726897\h23HYPERLINK\l_Toc146726898题型19重新组合新数列型 PAGEREF_Toc146726898\h23HYPERLINK\l_Toc146726899题型20重新排序型 PAGEREF_Toc146726899\h24HYPERLINK\l_Toc146726900题型21整除相关 PAGEREF_Toc146726900\h25HYPERLINK\l_Toc146726901题型22斐波那契数列 PAGEREF_Toc146726901\h26HYPERLINK\l_Toc146726902题型23数学文化相关 PAGEREF_Toc146726902\h28题型1公式法公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式an=a1+(n−1)d，或an=a1qn−1进行求解；【例题1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知Sn是等比数列an的前n项和，且Sn=2n+1+a，则a1a2+a2a3+⋯+a10a11=（ ）A．223−83 B．213−83 C．220−13 D．225−83【变式1-1】1.（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则使得an>2n+2成立的n的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-1】2.（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知数列an满足a1=1，且an+1=an+2，数列bn满足b1=1，bn+1−bn=an+1，则bn+8n的最小值为（ ）．A．133 B．5 C．42 D．173【变式1-1】3.（2023·四川·校联考模拟预测）在数列an中，∀n∈N*，an+1=an+22an+1，且2a2021+a2023C．a2022+a2023<2a2021 D．a2023>a2021【变式1-1】4..（2023·全国·高三专题练习）数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1−2Sn=1−n，且S1=3，则an的通项公式是．【变式1-1】5.（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，且Sn=λ⋅3n−1，则a5=（ ）A．54 B．93 C．153 D．162【变式1-1】7.（2023·河南·校联考模拟预测）若an−2n是等比数列，且a1=5，a4=89，则a100−a992=（ ）A．399−2 B．399−1 C．399+2 D．399+1题型2累加法累加法：当数列an中有an−an−1=fn，即第n项与第n−1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a2=2，a2n=a2n−1+3nn∈N∗，a2n+1=a2n+−1n+1n∈N∗，则数列an第2023项为（ ）A．31012−52 B．31012−32C．31011−52 D．31011−32【变式2-1】1.（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）已知数列an中，a1=1，an+1−1n=1+1nan，n∈N*.若对于任意的t∈1,2，不等式ann<−2t2−a+1t+a2−a+2恒成立，则实数a可能为（ ）A．-4 B．-1 C．0 D．2【变式2-1】2.（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知定义数列an+1−an为数列an的“差数列”，若a1=2,an的“差数列”的第n项为2n，则数列an的前2023项和S2023=（ ）A．22022−1 B．22022 C．22024 D．22024−2【变式2-1】3.（2023·全国·高三专题练习）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列2n+1an2的前2023项和为（ ）A．21−120242 B．21−120232C．41−120232 D．41−120242【变式2-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足：an=1,n=1,2an−1+an−2，n≥3，若a10=a12+a22+a32+⋯+am2am，则m=（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【变式2-1】5.（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：12+22+32+⋯+n2=nn+12n+16）A．1624 B．1198 C．1024 D．1560【变式2-1】6.（2023·全国·高三专题练习）如图，有一列曲线P0，P1，P2，…已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，…）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。则数列Sn的通项公式题型3累乘法累乘法：当数列an中有anan−1=fn，即第n项与第n−1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；【例题3】（2023·河南·模拟预测）已知数列an满足an+1+anan+1−an=2n，a1=1，则a2023=（ ）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列an本身不是等差数列，但从an数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列bn（则称数列an为一阶等差数列），或者bn仍旧不是等差数列，但从bn数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列cn（则称数列an为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ）A．25 B．2 C．221 D．228【变式3-1】2.（2023·河南驻马店·统考模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，a3=4，且an+1=1+1n+1an，若2Sn+12≥kan恒成立，则k的最大值是（ ）A．210+1 B．223 C．152 D．8【变式3-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1，nan=n−1an−1n≥2,n∈N∗，且anbn=sin2nπ3n∈N∗，则数列bn的前18项和为（ ）A．−3 B．−54 C．−33 D．−543【变式3-1】4.（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列an中，an+2an+1−an+1an=dn∈N*，其中d为常数，则称数列an为“等比差”数列.已知“等比差”数列an中，a1=a2=1，a3=3，则a24a22=（ ）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303题型4已知前n项和Sn消Sn型Sn与an的关系式法：由Sn与an的关系式，类比出Sn−1与an−1的关系式，然后两式作差，最后检验出a1，是否满足用上面的方法求出的通项；【例题4】（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Snn∈N∗，则有（ ）A．an为等差数列 B．an为等比数列C．Sn为等差数列 D．Sn为等比数列【变式4-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且a1=2，Sn+1Sn+1−3n=SnSn+3n，则S2023=（ ）A．32023−1 B．32023+1 C．32023+12 D．32022+12【变式4-1】2.（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1+Sn−1=2Sn−an2n≥2,a1∈12,1，则下列结论中错误的是（ ）A．01n+2【变式4-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1+Sn=n，有结论：①若a1=−1，则S2023=1010；②数列{an+1+an}是常数列.关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【变式4-1】4.（2023·甘肃张掖