专题02 曲线的切线方程(解析版)

专题02 曲线的切线方程考点一 求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．【例题选讲】[例1](1)(2021·全国甲)曲线y＝eq\f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________．答案 5x－y＋2＝0 解析 y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq\f(2(x＋2)－(2x－1),(x＋2)2)＝eq\f(5,(x＋2)2)，所以y′|x＝－1＝eq\f(5,(－1＋2)2)＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．(2)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1答案 B 解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．(3)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x答案 D 解析 法一 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0．因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．法二 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．法三 易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．(4)(2020·全国Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x－y＝0 解析 设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝lnx＋x＋1，所以y′＝eq\f(1,x)＋1，所以切线的斜率为eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1．所以y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．答案 x－y－1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x．∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝(1＋lnx0)x0，))解得x0＝1，y0＝0．∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．(6)(2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )A．eb0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则＝＝2x0－eq\f(1,x0)＝1．∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋(－1)2))＝eq\r(2)．【对点训练】1．设点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))1．答案 C 解析 y′＝3x2－eq\r(3)，∴y′≥－eq\r(3)，∴tanα≥－eq\r(3)，又α∈[0，π)，故α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，故选C．2．函数f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1处的切线方程为．2．答案 y＝(e－1)x＋2 解析 f′(x)＝ex－eq\f(1,x2)，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y＝3x 解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x．4．曲线f(x)＝eq\f(1－2lnx,x)在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝04．答案 D 解析 因为f(x)＝eq\f(1－2lnx,x)，所以f′(x)＝eq\f(－3＋2lnx,x2)．又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0．5．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为( )A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝05．答案 C 解析 设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．故选C．6．(2019·天津)曲线y＝cosx－eq\f(x,2)在点(0，1)处的切线方程为________．6．答案 y＝－eq\f(1,2)x＋1 解析 y′＝－sinx－eq\f(1,2)，将x＝0代入，可得切线斜率为－eq\f(1,2)．所以切线方程为y－1＝－eq\f(1,2)x，即y＝－eq\f(1,2)x＋1．7．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(a,ex)))为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为．7．答案 2x－y＝0 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即e＋eq\f(