专题05 含参函数的单调性讨论(原卷版)

专题05 含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一 导主一次型【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3] (2018·全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝eq\f(1,x)－x＋alnx，讨论f(x)的单调性．[例4] 设函数f(x)＝alnx＋eq\f(x－1,x＋1)，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】3．(2020·全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f(x)＝x－eq\f(2,x)＋1－alnx，a>0．讨论f(x)的单调性．5．已知函数f(x)＝(1＋ax2)ex－1，当a≥0时，讨论函数f(x)的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x．若a>0，试讨论函数f(x)的单调性．[例6] 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．[例7] 已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋eq\f(1,x)－ax＋2(a∈R)．讨论f(x)的单调性．[例8] 已知函数f(x)＝aln(x＋1)－ax－x2，讨论f(x)在定义域上的单调性．[例9] (2016·山东)已知f(x)＝a(x－lnx)＋eq\f(2x－1,x2)，a∈R．讨论f(x)的单调性．【对点训练】6．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．7．已知函数f(x)＝x2eax＋1＋1－a(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．8．已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)))lnx＋eq\f(4－x2,x)，其中常数k>0，讨论f(x)在(0，2)上的单调性．10．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(ax2＋x,(x＋1)2)，且1