专题09 函数的最值(原卷版)

专题09 函数的最值考点一 求已知函数的最值【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．(2)函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x－2lnx的最小值为．(3)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－eq\f(2,3)，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为．(4)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．(5)设正实数x，则f(x)＝eq\f(ln2x,xlnx)的值域为________．(6)已知函数f(x)＝elnx和g(x)＝x＋1的图象与直线y＝m的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1－x2的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[2，＋∞) C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))(7)已知不等式ex－1≥kx＋lnx对于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则k的最大值为________．(8)(多选)设函数f(x)＝eq\f(x＋e|x|,e|x|)，则下列选项正确的是( )A．f(x)为奇函数 B．f(x)的图象关于点(0，1)对称C．f(x)的最大值为eq\f(1,e)＋1 D．f(x)的最小值为－eq\f(1,e)＋1[例2] 已知函数f(x)＝excosx－x．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．[例3] (2017·浙江)已知函数f(x)＝(x－eq\r(2x－1))e－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))．(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的取值范围．[例4] (2021·北京)已知函数f(x)＝eq\f(3－2x,x2＋a)．(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．[例5] 已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x3＋x2，x<1，,alnx，x≥1.))(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．【对点训练】1．函数y＝eq\f(x,ex)在[0，2]上的最大值是( )A．eq\f(1,e) B．eq\f(2,e2) C．0 D．eq\f(1,2\r(e))2．函数f(x)＝2x－lnx的最小值为________．3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对4．已知函数f(x)＝x＋2sinx，x∈[0，2π]，则f(x)的值域为( )A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\r(3)，\f(2π,3)＋\r(3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4π,3)－\r(3))) C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\r(3)，2π)) D．[0，2π]5．设00)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0．(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．13．(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当00)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为( )A．eq\r(3)－1 B．eq\f(3,4) C．eq\f(4,3) D．eq\r(3)＋1