专题08 函数的极值(原卷版)

专题08 函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1． 图1 图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点xi是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一 根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数y＝f(x)的极值(1)y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标为x0，可得函数y＝f(x)的可能极值点x0；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)(3)函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，x1，x2是函数y＝f(x)的两个极值点，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于( )A．eq\f(8,9) B．eq\f(10,9) C．eq\f(16,9) D．eq\f(28,9)(4)已知函数y＝eq\f(f′(x),x)的图象如图所示(其中f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是( )A．f′(1)＝f′(－1)＝0 B．当x＝－1时，函数f(x)取得极大值C．方程xf′(x)＝0与f(x)＝0均有三个实数根 D．当x＝1时，函数f(x)取得极小值(5)(多选)函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有( )A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间 B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值(6)(2018·全国Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )【对点训练】1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．f(x)有两个极值点 B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值 D．f(－1)为f(x)的极小值3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于( )A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3) C．eq\f(8,3) D．eq\f(16,3)4．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则eq\f(f′(0),f′(1))＝________．5．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零考点二 求已知函数的极值【方法总结】求函数的极值或极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)＝x2e－x的极大值为__________，极小值为________．(2)设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则( )A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点 B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点(3)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，则f(x)的极大值点为( )A．eq\f(1,e) B．1 C．e D．2e(4)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1，2)，则( )A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值(5)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1(6)设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(1)＝eq\f(1,2)，则下列结论不正确的是( )A．xf(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．xf(x)在(0，＋∞)上单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值eq\f(1,2) D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值eq\f(1,2)[例2] 给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的拐点．已知f(x)＝ax＋eq\r(3)sinx－cosx．(1)求证：函数y＝f(x)的拐点M(x0，f(x0))在直线y＝ax上；(2)x∈(0，2π)时，讨论f(x)的极值点的个数．[例3] (2021·天津高考节选)已知a＞0，函数f(x)＝ax－x·ex．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切点的方程；(2)证明f(x)存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f(x)＝2x－xlnx的极值是( )A．eq\f(1,e) B．eq\f(2,e) C．e D．e22．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝03．函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnx－2x的极值点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．无数4．函数f(x)＝(x2－x－1)ex(其e＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是；极大值为．5．已知函数f(x)＝ax3－bx＋2的极大值和极小值分别为M，m，则M＋m＝( )A．0 B．1 C．2 D．46．若x＝－2是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2－2x＋1的一个极值点，则函数f(x)的极小值为( )A．－eq\f(11,3) B．－eq\f(1,6) C．eq\f(1,6) D．eq\f(17,3)7．已知函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )A．2 B．－eq\f(5,2) C．3＋ln2 D．－2＋2ln28．已知函数f(x)＝xlnx，则( )A．f(x)的单调递增区间为(e，＋∞) B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是减函数C．当x∈(0，1]时，f(x)有最小值－eq\f(1,e) D．f(x)在定义域内无极值9．(多选)已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x－1,ex)，则下列结论正确的是( )A．函数f(x)存在两个不同的零点B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值C．当－e