解三角形与三角函数题型综合训练 解析版

解三角形与三角函数题型综合训练一、梳理必备知识1.正弦定理abc===2R.(其中R为ΔABC外接圆的半径)sinAsinBsinC⇔a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(边化角)abc⇔sinA=,sinB=,sinC=;(角化边)2R2R2R2.余弦定理：222cosA=b+c-a,2bca2=b2+c2-2bccosA,222a+c-b222cosB=2ac,⇒b=a+c-2accosB,222222a+b-cc=a+b-2abcosC.cosC=2ab.3.三角形面积公式：1111SΔABC=absinC=bcsinA=acsinB=a+b+crr为三角形ABC的内切圆半径22224.三角形内角和定理：CπA+B在△ABC中，有A+B+C=π⇔C=π-(A+B)⇔=-⇔2C=2π-2(A+B).2225.二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α1+cos2α=2cos2α升幂公式：1-cos2α=2sin2αcos2α=1(1+cos2α)降幂公式：221sinα=2(1-cos2α)2tanα③tan2α=.1−tan2α6.22basinx±bcosx=a+bsin(x±φ)，(其中tanφ=)；辅助角公式a求f(x)=Asin(ωx+φ)+B解析式A,B求法A+B=f(x)方法一：代数法max方法二：读图法B表示平衡位置；A表-A+B=f(x)min示振幅12πω求法方法一：图中读出周期T，利用T=求解；ω方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.φ求法方法一：将最高(低)点代入f(x)=Asin(ωx+φ)+B求解；方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入f(x)=Asin(ωx+φ)+B求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ΔABC中，D为CB的中点，2AD=AC+AB，然后再两边平方，转化成数量关系求解！(常用)8.角平分线如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c①等面积法11A1AS=S+S⇒AB×AC×sinA=AB×AD×sin+AC×AD×sin(常用)ΔABCΔABDΔADC22222②内角平分线定理：ABACABBD=或=BDDCACDCABS△ABD③边与面积的比值：=ACS△ADC9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)a+b①ab≤2②a2+b2≥2ab10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)利用正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。【常用结论】①在ΔABC中，a>b⇔sinA>sinB⇔A>B;2π②sin2A=sin2B,则A=B或A+B=.2③在三角函数中，sinA>sinB⇔A>B不成立。但在三角形中，sinA>sinB⇔A>B成立二、三角函数与解三角形题型综合训练π1.(2023春·福建莆田·莆田一中校考阶段练习)已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<的2部分图象如图所示：(1)求方程fx=2的解集；ππ(2)求函数gx=fx--fx+的单调递增区间.1212π【答案】(1)xx=+kπ,k∈Z6π5π(2)kπ-,kπ+,k∈Z12125π【分析】(1)观察图象可得周期ω，根据点，0在函数图象上得φ；再根据点0,1在函数图象上得12A，求得解析式，进而求出解集；π(2)首先将gx化简为gx=2sin2x-，利用三角函数单调性可得答案.35π7π2π【详解】(1)由图象可知，周期T=+=π，∴ω==2，1212π5π5π∵点，0在函数图象上，∴Asin2×+φ=0，12125π∴sin+φ=0，65ππ解得+φ=π+2πk，φ=2πk+，k∈Z，66ππ∵ϕ<，∴ϕ=；26π∵点0,1在函数图象上，∴Asin=1，A=2，6π∴函数fx的解析式为fx=2sin2x+，6ππ由fx=2sin2x+=2得sin2x+=1，66πππ2x+=+2kπ,k∈Z，解得x=+kπ,k∈Z，626π所以解集为xx=+kπ,k∈Z.6ππ(2)gx=fx--fx+1212π由(1)知fx=2sin2x+，63πππππgx=2sin2x-+-2sin2x++=2sin2x-2sin2x+126126313π=2sin2x-2sin2x+cos2x=sin2x-3cos2x=2sin2x-，223ππππ5π由-+2πk≤2x-≤+2πk，k∈Z，得πk-≤x≤πk+，2321212πππ5π∴函数g(x)=fx--fx+的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z.121212122.(2023春·宁夏吴忠·青铜峡市高级中学校考阶段练习)函数fx=Asinωx+φ(A，ω，φ为常数，且πA>0，ω>0，ϕ<)的部分图象如图所示．2(1)求函数fx的解析式及图中b的值；ππ(2)将fx的图象向左平移个单位后得到函数y=gx的图象，求gx在0,上的单调减区间.62π【答案】(1)f(x)=2sin2x+，16π(2)0,235ππ3π【分析】(1)由函数的最值可求出A=2，由图可知T=--=，再结合周期公式可求出ω412345π=2，然后再,0代入函数中可求出φ，从而可求出函数解析式.12(2)由函数图象变换规律求出g(x)的解析式，再由2kπ≤2x≤π+2kπ可求出函数的减区间.35ππ3π2π5π【详解】(1)由题意知，A=2，T=--=，∴T=π,ω==2，当x=时，41234π12π5πππ由φ<,2×+φ=kπ,k∈Z，∴φ=，所以f(x)=2sin2x+.21266π所以b=f(0)=2sin=1.6ππ(2)g(x)=2sin2x++=2cos2x，66π由2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤+kπ，k∈Z.24ππ因此，函数gx在0,的单调递减区间为0,.223.(2023春·湖北十堰·校联考阶段练习)已知函数fx=sinx-3cosx．π22π(1)若x∈0,，且函数fx=，求cos+x的值；2331π(2)若将函数fx图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图像向左平移个单24π位长度，得到gx的图像，求函数gx在0,上的最小值．222【答案】(1)-3(2)g(x)min=-1π1π22【分析】(1)化简fx并结合题意可得sinx-=，结合x的范围可求得cosx-=，然33332ππ后利用诱导公式可得cos+x=-cosx-，即可求解；33π(2)先利用图象变换得到gx=2sin2x+，然后利用三角函数的性质即可求得最小值6π2【详解】(1)由题意可得fx=sinx-3cosx=2sinx-=，33π1得sinx-=，33πππππ2π22由x∈0,，得x-∈-,，∴cosx-=1-sinx-=23363332π2πππ22cos+x=-cosπ-+x=-cos-x=-cosx-=-.333331π(2)将函数fx图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图像向左平移个单位24πππ长度，得到gx，∴gx=2sin2x+-=2sin2x+，436πππ7π因为x∈0,,所以2x+∈,，2666π7ππ1所以当2x+=时，即x=时，g(x)=2×-=-1662min224.(2023春·浙江宁波·余姚中学校考阶段练习)已知函数fx=sinxcosx-3cosx，将函数fx的图π象向左平移个单位长度，可得到函数gx的图象．4(1)求函数gx的表达式及单调递增区间；ππa2+13(2)当x∈,时，afx+gx≥-a+1恒成立，求正数a的取值范围．6322π3ππ【答案】(1)gx=sin2x+-,-+kπ,+kπk∈Z．6236(2)0,35【分析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后平移变换得到函数gx的表达式，再利用正弦函数的单调性得出结论即可；π1(2)根据题意，将不等式进行等价转化为sin2x-+θ≥，然后利用正弦函数的图象和性质列出32ππ不等式求得≤θ≤，再结合正切函数的图象和性质即可求解.62213【详解】(1)由题意可知，fx=sinxcosx-3cosx=sin2x-cos2x+122133π3=sin2x-cos2x-=sin2x--22232πππ3π3gx=fx+=sin2x+--=sin2x+-443262πππ由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z得262ππgx的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z)，36π3所以函数g(x)的表达式为g(x)=sin2x+-，62ππ单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).36a2+13ππa2+1(2)不等式afx+gx≥-a+1，可化为asin2x-+sin2x+≥，22362πππa2+1可化为asin2x-+sin2x-+≥，3322ππa2+1可化为asin2x-+cos2x-≥，332aπ1π1可化为sin2x-+cos2x-≥，a2+13a2+132a1π1令cosθ=,sinθ=，由a>0，可得0<θ<,tanθ=，a2+1a2+12aπ1上面的不等式可化为sin2x-+θ≥，32πππ2πππππ当x∈,时，≤2x≤,0≤2x-≤,θ≤2x-+θ≤+θ，63333333ππππ5ππ1θ≥6,π由0<θ<，有<+θ<，若sin2x-+θ≥恒成立，只需要可得≤233632π5π63+θ≤6,πθ≤，2πππ1π又由0<θ<，有≤θ<，可得tanθ=≥tan，解得0三角形面积公式即可求解．【详解】(1)由题可得a2+b2-c2=ab，a2+b2-c21由余弦定理得cosC==，2ab2因为0C>B，故a>c>b，所以a=6，113所以S=absinC=×6×4×=63．△ABC2226.(2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习)在斜△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin2A-23sin2A=-23，AD平分∠BAC交BC于点D，AD=1．(1)求A的大小；(2)若a=25，求△ABC的面积．2π【答案】(1)A=；353(2).4