均值不等式的“十一大方法与八大应用”(解析版)

均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为(    )3A.9B.6C.3D.2【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，112x+3y23所以xy=×2x⋅3y≤=，66223当且仅当2x=3y，即x=，y=1时，等号成立，23即xy的最大值为.2故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为(    )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，1+x+2+y2则1+x2+y≤=25，2当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)1ba推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+≥2(a>0)(3)+≥2(a,b>0)aab2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法。【变式训练】1.(2022·上海·高三学业考试)已知x>1，y>1且lgx+lgy=4，那么lgx·lgy的最大值是(    )11A.2B.C.D.424【答案】D【分析】根据基本不等式求解即可.lgx+lgy242【详解】∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴lgx⋅lgy≤==4，22当且仅当lgx=lgy=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.12.(2023·全国·高三专题练习)已知0不等式即可求得答案.21【详解】∵00,2112x+(1-2x)21∴x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×=，22281当且仅当2x=1-2x时，即x=时等号成立，411因此，函数y=x(1-2x),00，b>0.因为log2a+log2b=log2ab=2，所以ab=4.199故+≥2=3.abab1=9ab2ab=4a=当且仅当，即3时等号成立.a>0b=6b>019所以，+的最小值为3.ab故选：C．a2+6a+13典例2-2．(2022·重庆市育才中学高一期中)若a>-3，则的最小值为(    )a+3A.2B.4C.5D.6【答案】Ba2+6a+13【分析】对变形后，利用基本不等式进行求解最小值.a+34【详解】因为a>-3，所以a+3>0,>0，a+32a2+6a+13a+3+444由基本不等式得==a+3+≥2a+3⋅=4，a+3a+3a+3a+34当且仅当a+3=，即a=-1时，等号成立，a+3a2+6a+13故的最小值为4.a+3故选：B【方法技巧总结】1.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。【变式训练】1.(2022·广东·惠州市华罗庚中学高一阶段练习)已知函数fx=lgx，且fa=fb，则a+b的取值范围为(    )A.2,+∞B.2,+∞C.10,+∞D.10,+∞【答案】A【分析】先根据条件找出a,b之间的关系式，然后消去一个元后运用基本不等式可得.【详解】由题意不妨设02故选：A．42.(2022·湖北·高一期中)函数f(x)=+x(x<3)的最大值是(    )x-3A.-4B.1C.5D.-1【答案】D4【分析】将函数等价变换为f(x)=-3-x++3，再利用基本不等式求解即可.3-x【详解】解：∵x<3，∴3-x>0，444则f(x)=-3-x++3≤-2(3-x)⋅+3=-1(当且仅当3-x=，即x=1时，取3-x3-x3-x等号)，即当x=1时，f(x)取得最大值-1.故选：D.方法三：“和积化归”【典例分析】典例3．(2022·山东山东·高一期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy=3，若不等式x+y≥m2-m恒成立，则实数m的取值范围为(    )A.-2≤m≤1B.-1≤m≤2C.m≤-2或m≥1D.m≤-1或m≥2【答案】B22【分析】首先根据基本不等式得到x+ymin=2，结合题意得到m-m≤x+ymin，即m-m≤2，再解不等式即可.2x+y【详解】xy=3-x+y≤，当且仅当x=y=1时等号成立，4解得x+y≥2，即x+ymin=2.因为不等式x+y≥m2-m恒成立，22所以m-m≤x+ymin，即m-m≤2，解得-1≤m≤2.故选：B【方法技巧总结】1.技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的方法叫做“和积化归”。【变式训练】1.(2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习)已知正数a，b满足a+4b+2ab=6，则a+4b的最小值为(    )A.1B.2C.4D.5【答案】C【分析】由基本不等式得出关于a+4b的不等式，解之可得．1a+4b2【详解】由已知6-(a+4b)=2ab≤⋅，当且仅当a=4b时等号成立，22所以(a+4b)2+8(a+4b)-48≥0，(a+4b-4)(a+4b+12)≥0，1又a>0,b>0，所以a+4b≥4，即a+4b的最小值是4，此时a=2,b=．2故选：C．方法四：“化1”与“拼凑化1”【典例分析】14y典例4-1．(2022·河北·衡水市第二中学高一期中)若两个正实数x,y满足+=1，且不等式x+xy4<3m2-m有解，则实数m的取值范围为(    )44A.-1,B.-∞,-1∪,+∞3344C.-,1D.-∞,-∪1,+∞33【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.yy14【详解】∵不等式x+<3m2-m有解，∴x+<3m2-m,∵x>0,y>0，且+=1，∴x+44minxyyy144xy4xy4xy=x++=++2≥2⋅+2=4，当且仅当=，即x=2,y=8时取44xyy4xy4xy4xy4“=，∴x+=4，故3m2-m>4，即m+13m-4>0，解得m<-1或m>,∴实数m的取4min34值范围是-∞,-1∪,+∞.3故选：B.【点睛】关键点睛：利用1的等式，结合基本不等式是解题的关键.121典例4-2．(2022·江西宜春·高二阶段练习(理))已知a，b均为正数，且+=，则2a+ba+1b-22的最小值为(    )A.8B.16C.24D.32【答案】B12【分析】确定b>2，变换得到2a+b=22a+1+b-2+，展开利用均值不等式计算得a+1b-2到答案.2112【详解】当b∈0,2时，<-1，<1，故+<0，不符合题意，故b>2，b-2a+1a+1b-212a+1b-22a+b=2a+1+b-2=22a+1+b-2+=8+2+8a+1b-2b-2a+1a+1b-2a+1b-2≥216⋅+8=16，当8=2，即a=3,b=10时等号成立.b-2a+1b-2a+1故选：B【方法技巧总结】1.技巧：化1法流程为：①条件化1，与问题相乘，②将乘积式展开为四项，其中两个含参，另外两个为常数，③对其适用均值定理推论进行求最值。2.注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为(或可整理为)两个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参数在分子。【变式训练】1.(2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习)已知正数a，b满足a9×b27=3，则3a+2b的最小值为(    )A.10B.12C.18D.24【答案】D23【分析】将根式表示为分数指数幂，得+=1，利用基本不等式求3a+2b的最小值.ab323ab2+23【详解】9×27=3a×3b=3ab=3，所以+=1，ab因为a，b为正数，234b9a4b9a所以3a+2b=3a+2b+=12++≥12+2×=24，ababab4b9a当且仅当=时，即a=4，b=6时，等号成立，ab所以3a+2b的最小值为24.故选：D.y462.(2022·四川外国语大学附属外国语学校高一期中)设正实数x,y满是3x+=2，则+的22x+1y+1最小值为( )9+627+42A.B.32C.D.4244【答案】Ay13(2x+1)y+1【分析】根据3x+=2可得+=1，利用“1”的用法，结合基本不等式计算即可求解.2422y3(2x+1)y+113(2x+1)y+1【详解】由3x+=2，得+=4，所以+=1，2224229(2x+1)2(y+1)因为x>0，y>0，所以>0，>0，y+12x+14613(2x+1)y+146则+=++2x+1y+14222x+1y+119(2x+1)2(y+1)19(2x+1)2(y+1)9+62=9++≥9+2×=，4y+12x+14y+12x+14469+62即+≥，2x+1y+149(2x+1)2(y+1)13-82当且仅当=即x=，y=82-9时等号成立，y+12x+16469+62所以+的最小值为.2x+1y+14故选：A.方法五：“不等式链”【典例分析】典例5．(2022·全国·高三专题练习(文))若x>0，y>0且x+y=2，则下列结论中正确的是(    )1A.x2+y2的最小值是1B.xy的最大值是421C.+的最小值是42D.x+y的最大值是2xy【答案】D2211212【分析】根据x2+y2=x+y-2xy、+=+x+y、x+y=x+y+2xy，利用基xy2xy本不等式依次求解