仿真卷04（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分仿真卷04本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，，∴，故选B。2．设复数（），且，则（）。A、B、或C、D、或【答案】A【解析】，解得，当时，则，，当时，则，，故选A。3．某地积极响应党中央的号召，开展扶贫活动，扶贫第年该地区贫困户每年人均收入万元的部分数据如下表：年份编号12345年人均收入0.50.61.41.7根据表中所给数据，求得与的线性回归方程为，则（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】，，由，可得，故选C。4．“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载。如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在本板的中心牵引组成，要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持看线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）。某航海观察员手持边长为的牵星板，绳长，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（）。参考数据：、、、。A、B、C、D、【答案】C【解析】如图可知，为的中点，则，∴，，，∵，∴，则航船所处的纬度位于区间，故选C。5．技术的数学原理之一是著名的香农公式：。它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比。当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计。假设目前信噪比为，若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升，那么信噪比要扩大到原来的约（）。A、倍B、倍C、倍D、倍【答案】D【解析】由题意设现在的信噪比为，则可列出等式，∴，∴，∴，故选D。6．已知函数的定义域为，且满足，若，则在内的零点个数为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可得函数的图像如图所示，则当时，的值域为，则与在内无交点，当时，的值域为，则与在内有一个交点，以此类推，结合图像可知，与共有个交点，故选B。7．如图所示，在底圆半径和高均为的圆锥中、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图所示，过点作，垂足为，∵是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为，∴，∴，在平面内建立平面直角坐标系如图，设抛物线的方程为：（），为抛物线的焦点，而点的坐标为，代入抛物线方程可得：，∴，，即，，，∴抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为，故选A。8．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递。若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成（，）次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵从甲开始，一次传递有三种情况（甲传到下一个人有三种选择），∴当时，就传递一次，不可能回到甲手上，∴，∴当时，传递两次，先传到任意乙、丙、丁手上，再传回到甲，∴，当时，传递三次，先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，当时，传递四次，两种情况：（1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，∴，（2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，∴，当时，传递五次，三种情况：（1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，（2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，∴，（3）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，∴，当时，传递六次，两种情况：（1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，∴，（2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，（3）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，（4）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，∴，（5）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，∴，∴，故选D。答题技巧：D选项一定不做！单选题，ABC错，则D一定对，但要注意一定要保证其他三个选项一定全错。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．下列命题中正确的是（）。A、，B、，C、，D、，【答案】ABC【解析】A选项，由指数函数图像性质可知，当时，恒成立，对，B选项，由对数函数图像可知，当，同样恒成立，对，C选项，在上单调递减，在在上单调递增，当时，，，当时，，∴，，对，D选项，在上单调递减，在在上单调递减，当时，，当时，，∴，，错，故选ABC。10．年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线。如图所示，取一个边长为的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第个图形，重复上面的步骤，得到第个图形。这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线。云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”。下列说法正确的是（）。A、第个图形的边长为B、记第个图形的边数为，则C、记第个图形的周长为，则D、记第个图形的面积为，则对任意的，存在正实数，使得【答案】BCD【解析】各个图像的边长成等比数列，且，∴可设边长为，，A选项错，各个图形的边数也成等比数列，且，∴，B选项对，周长为，C选项对，当时，图形无限接近于圆，故，D选项对，故选BCD。11．已知函数，则下列说法正确的是（）。A、为周期函数B、的图像关于点对称C、有最大值D、在上单调递增【答案】ABD【解析】，∵，∴为周期函数，A正确，由得的图像关于点对称，B正确，令，得，则，∴，∴有最大值，C错误，令，当时，，，，D正确，故选ABD。12．如图所示，已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点、分别在半圆弧和半圆弧（均不含端点）上，且、、、在球上，则下列说法正确的是（）。A、当点在半圆弧的中点处时，三棱锥的体积为定值B、当点在半圆弧的中点处时，过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C、球的表面积的取值范围为D、当点在半圆弧的三等分点处时，球的表面积为【答案】AD【解析】如图1，取棱的中点，棱的中点，棱的中点，根据题意，球心在线段上，设，，则由余弦定理可得，设，则，∴，∵（为球的半径），∴，∴，∴球的表面积为，C选项错，当点在半圆弧的三等分点处时，，则，∴，∴球的表面积，D选项对，当点在弧上时，连结，在平面中，过点作的平行线，与线段、分别交于、，延长与的相交，连结交点与点交于点，此时当点在半圆弧的中点处时，过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形，B选项错，当在半圆弧的中点处时，三棱锥的体积为，为定值，A选项对，故选AD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知向量、满足：、、，则与的夹角大小为。【答案】【解析】∵，∴，∴，∴。14．在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多个，则型机器人的个数为。【答案】【解析】设机器人总个数为，型机器人的个数为、型机器人的个数为，∵型机器人比型机器人多个，∴，解得，∴型机器人有个，型机器人有个，又∵型机器人被选中的概率为，∴，解得，∴、，∴型机器人的个数为。15．设、分别为双曲线：的左、右焦点，若双曲线上存在点，使得，且，则。【答案】【解析】设，则，∴在焦点中，由余弦定理得：，∴，，又，∴，解得。16．若（）对于恒成立，则当时，的最小值为；当时，的最小值为。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】【解析】当时，，令，定义域为，则，令，解得，当时，，∴在内单调递增，当时，，∴在内单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，∴，又当时，，当时，，，∴做的图像如图所示，∴，即的最小值为，设，则为直线，∵，∴斜率为正，为最小值时，即直线的截距为负，当为的切线时，截距最小，设切点为，则，∴，∴，解得，∴，设，，，令，解得，，又，∴当时，，∴在单调递减，当时，，∴在单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，∴，即的最小值为。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）设为数列的前项和，已知，。（1）证明：数列是等比数列；（2）判断、、是否成等差数列？并说明理由。【解析】（1）∵，，∴，1分由题意得，∴，又，3分∴是首项为、公比为的等比数列，4分（2）由（1），∴，5分∴，7分∴，9分∴，即、、成等差数列。10分18．（本小题满分12分）已知函数（，）的图像是由的图像向右平移个单位得到的。（1）若的最小正周期为，求的与轴距离最近的对称轴方程；（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围。【解析】（1）∵的最小正周期为，∴，∴，2分∵的图像是由的图像向右平移个单位得到的，∴，4分令，，得的对称轴方程为，，5分要使直线（）与轴距离最近，则须最小，∴，此时对称轴方程为；6分（2）由已知得：，令得：，，即，，8分∵在上有且仅有一个零点，∴，∵，∴，∴，11分解得：，∵，∴，∴。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，、，为中点，为中点。（1）求证：平面；（2）若线段上存在点使得，求直线与平面所成角的正弦值。【解析】（1）在长方体中，以为原点如图建系，设，1分则、、、、、、、、、，3分∴，、，∴、，∴、，又，平面，∴平面；5分（2）设，设，则，∴、，，∴，又，∴，6分∵，，∴，解得，∴，8分∴、、，设平面的法向量为，则，即，则，令，解得，则，10分设直线与平面所成角的平面角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为。12分20．（本小题满分12分）某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示。将分数不低于分的学生称为“高分选手”。（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在、内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计（参考公式：，其中）【解析】（1）由题意知，解得，1分样本平均数为，2分中位数为，众数为；3分（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人，4分随机变量的所有可能取值