2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷09（解析版）

2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，集合，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】，，则，故选B。2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（）。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】C【解析】由已知得：，则，∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。3．近年来，黄金周给百姓的生活带来了巨大变化。不断增长的旅游需求，日益完善的旅游市场和四通八达的交通出行，让人们对黄金周热情不改。而随着社会老龄化程度的不断加深，老人出游人数也越来越多。据全国老龄办统计，国内游总人次中有两成是老年人。某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团，旅行团人数的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下（阴影部分为损坏数据），估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中的矩形的高分别为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由茎叶图得，旅行团人数在的频数为，由频率分布直方图可得，人数在的频率为，可得旅行团总数为，则旅行团人数在的频率为，在频率分布直方图中对应的高为，可得频率分布表如下：人数频率∴平均人数为，故选A。4．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】依题意，丙没有入选，当甲、乙两人都入选的种数，当甲、乙两人只有1人入选的种数，因此，满足条件的不同选法的种数为种，故选B。5．若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】法一：设曲线的切点（），又点处的切线斜率，∴切线方程：，即：，∵切线也与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即，解得（可取）或（舍去），∴切线方程为，故选B。法二：画出曲线和圆的图形如下：要使直线与曲线和圆都相切，则直线，横截距，纵截距，B、C、D均不符合，故选B。6．已知函数（）在区间上单调递增，将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，且当时，，则的取值范围是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】将化简，得，由已知得，则，又，∴，∴，当时，，又，结合正弦函数的图像可得，∴，故选A。7．在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】做正方体，以为坐标原点如图建系，做中点，则为的外接圆半径，过做直线平面，则三棱锥的外接球球心一定在上，设其半径为，则、、、，设、，则，即，∴，当且仅当时取最小值为，此时取最小值为，此时三棱锥的外接球的表面积最小，最小值为，故选D。8．等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为，（）的图像是等轴双曲线，设双曲线的焦点为、，点为坐标原点，则的面积为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】，其对称中心，渐近线方程为，，实轴所在方程为：，即，即直线的方程为，联立方程，∴顶点坐标、，∴实轴长，又双曲线的离心率为，∴焦距为，∴点到直线的距离为，∴，故选C。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．下列说法错误的是（）。A、“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”B、函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件C、命题“，”的否定是“，”D、关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】A选项，当平面向量与的夹角为锐角时，，∵其中可能有零向量，当时，平面向量与的夹角为锐角，∴后者是前者的充分不必要条件，错，B选项，当的最小正周期为时，，，前者是后者的必要不充分条件，对，C选项，命题“，”的否定是“，”，错，D选项，关于的不等式的解集为，开口向上，，解得，对，故选AC。10．“天干地支纪年法”（也叫农历）源于中国，中国自古便有十天干与十二地支。十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推。年为“天干地支纪年法”的辛丑年，为了推算公元年，（为不小于的正整数）所在的农历年份，我们定义数列：的余数，若，则公元第年为辛丑年；若，则公元第年为壬寅年，依次类推，则（）。A、B、，C、D、【答案】ABC【解析】的余数的余数，A选项对，由的定义得：，B选项对，假设C的结论不成立，则，∴，这与已知矛盾，则假设不成立，C选项对，若，则，D选项错，故选ABC。11．已知、是抛物线：上异于坐标原点的两个动点，且以为直径的圆过点，则下列说法正确的是（）。A、抛物线的准线为B、直线的斜率为C、D、直线过定点【答案】ACD【解析】由抛物线：得，∴准线为，A选项对，∵、，两式相减得，当时，有，此时直线的斜率为，当时，直线斜率不存在，B选项错，∵以直线为直线的圆过原点，∴，即，∴，又，∴，解得，，∴C选项对，当直线斜率存在时，设直线的方程为（），联立可得，∴，∴，即，∴直线的方程为，当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点，D选项对，故选ACD。12．定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（）。A、在处取得极小值，极小值为B、只有一个零点C、若在上恒成立，则D、【答案】BCD【解析】A选项，∵且可得：，即，∴（为常数），又∵，∴，∴，∴，其定义域为，，令，解得，当时，则在内单调递增，当时，则在内单调递减，∴在处取得极大值，也是最大值，∴，错，B选项，当时，当时，画出草图如图所示，根据图像可知：只有一个零点，对，C选项，要保证在上恒成立，即保证在上恒成立，∵，可得在上恒成立，∴只需，令，其定义域为，∴，令，解得，当时，，∴在内单调递增，当时，，∴在内单调递减，∴在处取得极大值，也是最大值，∴，∴，对，D选项，∵在内单调递增，在内单调递减，又，∴，又∵、，∴，根据得，∴，∴，对，故选BCD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中的常数项为。【答案】【解析】，令，得，∴常数项为。14．已知为等差数列，，，的前项和为，则使得达到最大值时是。【答案】【解析】设等差数列的公差为，由、两式做差得，∴，∴数列单调递减，又解得，∴，由得，即，∴、，∴当时取得最大值。15．已知定义在上的函数满足：①，②在上为增函数；若时，成立，则实数的取值范围为。【答案】【解析】∵，∴的函数图像关于直线对称，∵在上为增函数，∴在上为减函数，∵当时，成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，设，，，的最大值为，的最小值为，∴，∴实数的取值范围为。16．如图所示，在平面四边形中，，，，，在中，角、、的对边分别为、、，若，则的面积为。【答案】【解析】如图，做中点、中点，连接、，∵，∴，∵、分别为、中点，则，又∵，∴，∴、、三点共线，∵，，，∴，则在中，，又，由余弦定理得：，即，又∵、，∴在中，，∴，∴，又在中，，∴，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）设等差数列的前项和为，若，。（1）求数列的通项公式；（2）设，若的前项和为，证明：。【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，2分又由，得，由上可得等差数列的公差，4分∴；5分（2）证明：由题意得，，7分∴。10分18．（本小题满分12分）设向量，向量，且，其中、是的两个内角。（1）求的取值范围；（2）试确定的取值范围。【解析】（1）∵、，，∴，即，2分又，、，∴，即，3分，4分∵，∴，∴，∴的取值范围是；6分（2）由（1）得，∴，设，则由（1）得，则，∴可化为，（），10分由定义可证在上是单调递减函数，∴，∴取值范围为。12分19．（本小题满分12分）年抗击新冠肺炎武汉封城期间，某公司的产品因符合抗疫要求（全部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持）能继续直销武汉。为了把握准确的需求信息，他们使用大数据统计了武汉年末近天内每天此产品的售货量（单位：箱）如下表所示：销售量（箱）天数统计分析发现服从正态分布。（1）画出售货量的频率分布直方图，并求出的值；（2）估计该公司一个月（天）内售货量在区间内的天数（结果保留整数）；（3）为鼓励分销商，该公司出台了两种不同的促销方案：方案一：直接返现，按每日售货量三级返现：时，返现元；时，返现元；时，返现元；方案二：通过抽奖返现，每日售货量低于时有一次抽奖机会；每日售货量不低于时有两次抽奖机会，每次抽奖获得奖金元的概率为，获得奖金元的概率为。据你分析，分销商应采用哪种方案？请说明理由。附：若，则，。【解析】（1）由题意可知：1分销售量（箱）天数频率/组距画出频率分布直方图如图所示：3分；4分（2）由（1）可知正态分布服从，∵、，∴，6分∴估计该公司一个月（天）内售货量在区间内的天数为，7分（3）方案一：，，，∴平均每日返现为（元），9分方案二：∵、，∴平均每日返现为，11分∵，∴应选择方案一。12分20．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、的中点，为的中点，，平面平面。（1）求的长；（2）若，求二面角的余弦值。【解析】（1）过点做，垂足为，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，2分∵平面，平面，∴，∴、，又、平面，∴平面，又平面，∴，4分∵、分别为线段、的中点，∴，∴，即，又∵，∴，又，则，在中，，∴；6分（2）由（1）可知，又平面，，为的中点，则以为原点，、、为、、轴如图建系，、、、、、、，、、，7分设平面的法向量为，∴，令，则、，∴，9分设平面的法向量为，∴，令，则、，∴，11分设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。12分21．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的右焦点为，离心率为，直线：（）与椭圆交于不同两点、，直线、分别交轴于、两点。（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：。【解析】（1）由题意可知、，∴，又，∴椭圆的标准方程为：；3分（2）设、，（且），联立得：，5分，即，则、，7分∵，10分∴直线与直线关于对称，即，又，∴。12分22．（本小题满分12分）已知函数（其中是自然对数的底数），函数（）。（1）函数是否存在极值点？若存在，请求出极值点；若不存在，请说明理由；（2）当时，均有成立，求实数的取值范围。【解析】（1）由题意知，，定义域为，，1分①当时，，在上单调递减，在上单调递增，∴有极小值点，无极大值点，2分②当时，，∴在和上单调递减，在上单调递增，∴有极小值点，有极大值，3分③当时，当时，，∴在上单调递增，不存在极值点，4分当时，，在、上单调递增，在上单调递减，∴有极大值点，极小值点，5分当时，，在和上单调递增，在上单调递减，∴有极大值点，极小值点，6分（2）等价于，得函数在区间上单调递增，7分∵，∴在上恒成立，则，，9分令，，则，∴在上单调递増，∴，∴，11分∴实数的取值范围是。12分