2023届江苏省南通市如皋市高考三模数学试题

2023年高考适应性考试（三）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，集合，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.32.已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（）A. B. C.2 D.4.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：，）A.14次 B.15次 C.16次 D.17次5.将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到数的图象，若存在，使得对任意恒成立，则（）A. B. C. D.6.如图，湖面上有4个小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为（）A.6 B.16 C.18 D.207.已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，，当n取大值时，的值为（）A.10 B.61 C.64 D.738.在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某班共有48人，小明在一次数学测验中的成绩是第5名，则小明成绩的百分位数可能是（）A.9 B.10 C.90 D.9110.如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，P，Q分别为棱，BC的中点，则（）A.平面 B.平面平面C.三棱柱的侧面积为 D.三棱锥的体积为11.已知定义在R上的函数的图象连续不间断，若存在非零常数t，使得对任意的实数x恒成立，则称函数具有性质.则（）A.函数具有性质B.若函数具有性质，则C.若具有性质，则D.若函数具有性质，且，则，12.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（）A.的最小值为8B.若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6C.为定值D.若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数依次构成等差数列，则其展开式中所有项的系数和为______.14.为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为______环2.15.已知点是抛物线上的动点，则的最小值为______.16.在平面直角坐标系中，点P在圆上运动，点Q在函数的图象上运动，写出一条经过原点O且与圆C相切的直线方程为______；若存在点P，Q满足，则实数a的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前n项和.18.（本小题满分12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______.（1）求角C的大小；（2）若点D在AB边上，且，，求的值.19.（本小题满分12分）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.（1）若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；（2）中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y（单位：元）的概率分布列，并估计本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）参考数据：，，.20.（本小题满分12分）如图，在多面体中，，平面，是边长为2的正三角形，，点M是BC的中点，平面.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，BN交于点P.（1）记，的面积分别为，，若，求点P的坐标；（2）设点，若点M在直线FG的左侧，记直线MG与直线交于点Q，求证：直线FQ平分.22.（本小题满分12分）已知函数，其中a为实数.（1）若，求函数在区间上的最小值；（2）若函数在R上存在两个极值点，，且.求证：.参考答案一、选择题：cabccbdacdbdabdacd三、填空题：13．－114．15．16．(或)四、解答题：17．【解】（1）因为，，故，所以，整理得．……………2分又，，，所以为定值，……………4分故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，得．……………6分（2）因为，……………8分所以．……………10分18．【解】选择①．（1）因为，结合余弦定理，得，即，……………3分据正弦定理可得，所以，又，，所以，即，又，所以．……………6分（2）设，则．因为，，故，所以，在中，据正弦定理可得，即，在中，同理，……………9分因为，所以，即，整理得，所以的值为．……………12分选择②．（1）因为，结合正弦定理可得，即，……………2分又，所以，即，……………4分又，，故，即，所以，，因为，，所以，得．……………6分（2）设，则．因为，，故，所以，在中，据正弦定理可得，即，在中，同理，……………9分因为，所以，即，整理得，所以的值为．……………12分19．【解】（1）依题意，，……………2分所以，故．……………4分（2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为，得分不低于74分的概率为．Y的所有可能取值分别为10，20，30，40．，，，，所以Y的概率分布为Y10203040P……………10分所以，所以本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额为元．……………12分20．【解】（1）取BC1的中点D，连结MD，A1D．在△BCC1中，M，D分别是BC，BC1的中点，所以MD∥CC1，且MD＝eq\f(1,2)CC1．又AA1∥CC1，故MD∥AA1，所以点A，A1，D，M四点共面．因为AM∥平面A1BC1，AM平面AA1DM，平面AA1DM∩平面A1BC1＝A1D，所以AM∥A1D．因为CC1⊥平面ABC，AM平面ABC，所以AM⊥CC1，故A1D⊥CC1，在正△ABC中，M是BC的中点，故AM⊥BC，故A1D⊥BC，又BC∩CC1＝C，BC，CC1平面BCC1B1，所以A1D⊥平面BCC1B1，因为A1D平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BCC1B1．……………6分C1B1BCMAD（2）法一：因为AA1∥CC1，CC1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面ABC，以A为坐标原点，AC，AA1所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．则，，，．所以，，，设平面A1BC1的法向量，则即取，则，，故平面A1BC1的一个法向量为．设平面A1BC的法向量，则即取，则，，故平面A1BC1的一个法向量为．所以，设二面角C1－A1B－C的大小为θ，由图可知，，所以二面角C1－A1B－C的余弦值为．……………12分A1A1C1B1BCMADxyz法二：连结CD，在平面A1BC内，过点C作CH⊥A1B，垂足为H，连结DH．在△BCC1中，CB＝CC1＝2，D是BC1的中点，所以CD⊥BC1．由（1）可知，A1D⊥平面BCC1B1，CD平面BCC1B1，故CD⊥A1D．又A1D∩BC1＝D，A1D，BC1平面A1BC1，所以CD⊥平面A1BC1．因为A1B平面A1BC1，所以A1B⊥CD．又A1B⊥CH，CD∩CH＝C，CD，CH平面CDH，所以A1B⊥平面CDH，因为DH平面CDH，所以A1B⊥DH．所以∠CHD是二面角C1－A1B－C的平面角．在△A1BC中，，，所以，据，得．在Rt△CDH中，，，所以二面角C1－A1B－C的余弦值为．……………12分A1C1B1BCMADH21．【解】（1）依题意，F(1，0)，A(－2，0)，B(2，0)，故AF＝3，BF＝1．因为S1＝3S2，所以，即．因为直线l经过F(1，0)，故，直线l的方程为x＝1．若M在x轴的上方，则M(1，)，N(1，)，直线AM的方程为，直线AN的方程为，联立方程组可得点P的坐标为(4，3)．根据椭圆的对称性可知，当M在x轴下方时，点P的坐标为(4，－3)．所以点P的坐标为．……………5分（2）要证：直线FQ平分，即证：，只要证：，即证：，其中，分别是直线MF，QF的倾斜角，只要证：，即证：，即证：，证明如下：设，则直线MG的方程为，令，得点Q的坐标为，所以直线FQ的斜率，又直线MF的斜率为，所以，又因为点在椭圆C：上，故，得，所以，得证．……………12分22．【解】（1）当时，，，，令，，则，所以在上单调递增，故，所以，在上单调递增，所以当时，的最小值为．……………4分（2）依题意，在R上存在两个极值点x1，x2，且．所以在R上有两个不等的实根x1，x2，且．令，，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，此时，故．因为x1，x2是的两个不等的实根，所以即要证：，即证：，只要证：．下面首先证明：．要证：，即证：，只要证：，即证：，令，，则，所以在上单调递减，，即．因为，所以．所以，故．要证：，只要证：，即证：，只要证：，即证：，事实上，，显然成立，得证．……………12分