专题02 函数的基本概念与基本初等函数I（解析版）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题02函数的基本概念与基本初等函数I考点一函数的值域1．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是 A． B． C． D．【解析】，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错，的值域为，，故错．故选：．2．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．【解析】当时，，当时，，所以函数的值域为，．故答案为：，．3．（2022•上海）设函数满足对任意，都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，，则的取值范围为 ．【解析】法一：令，解得（负值舍去），当时，，当时，，且当时，总存在，使得，故，若，易得，所以，即实数的取值范围为；法二：原命题等价于任意，所以恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围为．故答案为：．考点二函数的图象与图象的变换4．（2021•浙江）已知函数，，则图象为如图的函数可能是 A． B． C． D．【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为为偶函数，为奇函数，函数为非奇非偶函数，故选项错误；函数为非奇非偶函数，故选项错误；函数，则对恒成立，则函数在上单调递增，故选项错误．故选：．5．（2020•浙江）函数在区间，上的图象可能是 A． B． C． D．【解析】，则，为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除，，当时，，故排除，故选：．6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是 A． B． C． D．【解析】由函数，，当时，可得是递减函数，图象恒过点，函数，是递增函数，图象恒过，；当时，可得是递增函数，图象恒过点，函数，是递减函数，图象恒过，；满足要求的图象为：故选：．考点三．复合函数的单调性7．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是 A．， B．， C．， D．，【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，是的增函数，要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即，故实数的取值范围是，．故选：．8．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B．， C． D．，【解析】由，得或．令，外层函数是其定义域内的增函数，要使函数在上单调递增，则需内层函数在上单调递增且恒大于0，则，，，即．的取值范围是，．故选：．考点四函数的最值及其几何意义9．（2021•新高考Ⅰ）函数的最小值为 ．【解析】法一、函数的定义域为．当时，，此时函数在，上为减函数，当时，，则，当，时，，单调递减，当时，，单调递增，在上是连续函数，当时，单调递减，当时，单调递增．当时取得最小值为（1）．故答案为：1．法二、令，，分别作出两函数的图象如图：由图可知，（1），则数的最小值为1．故答案为：1．10．（2019•浙江）已知，函数．若存在，使得，则实数的最大值是 ．【解析】存在，使得，即有，化为，可得，即，由，可得，可得的最大值为．故答案为：．考点五函数奇偶性的性质与判断11．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则 A． B．0 C． D．1【解析】由，得或，由是偶函数，，得，即，，得，得．故选：．12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数 A． B． C． D．【解析】在上单调递减且为奇函数，符合题意；因为在上是增函数，不符合题意；，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：．13．（2019•上海）已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为 A． B． C． D．【解析】由于函数，存在常数，为偶函数，则：，由于函数为偶函数，故：，所以：，当时．故选：．14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．①；②当时，；③是奇函数．【解析】时，；当时，；是奇函数．故答案为：．另解：幂函数即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，综上所述，取即可．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则 ．【解析】函数是偶函数，为上的奇函数，故也为上的奇函数，所以，所以．法二：因为函数是偶函数，所以，即，即，即，所以．故答案为：1．16．（2023•上海）已知，，函数．（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．【解析】（1）若，则，要使函数有意义，则，即的定义域为，是奇函数，是偶函数，函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．（2）若函数过点，则（1），得，得，此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，即，得，当时，有两个不同的交点，设，则，得，得，即，若即是方程的根，则，即，得或，则实数的取值范围是且且，即，，．考点六奇偶性与单调性的综合17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则 A． B． C．（2） D．（4）【解析】函数为偶函数，，为奇函数，，用替换上式中，得，，，即，故函数是以4为周期的周期函数，为奇函数，，即，用替换上式中，可得，，关于对称，又（1），（1）．故选：．18．（2020•海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是 A．，，B．，，C．，， D．，，【解析】定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：在上单调递减，且；故；当时，不等式成立，当时，不等式成立，当或时，即或时，不等式成立，当时，不等式等价为，此时，此时，当时，不等式等价为，即，得，综上或，即实数的取值范围是，，，故选：．考点七分段函数的应用19．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 ．【解析】函数，为奇函数，，（1），，即，求得或．当时，，不是奇函数，故；当时，，是奇函数，故满足条件，综上，，故答案为：1．20．（2022•浙江）已知函数则 ；若当，时，，则的最大值是 ．【解析】函数，，；作出函数的图象如图：由图可知，若当，时，，则的最大值是．故答案为：；．考点八抽象函数及其应用21．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则 A． B． C．0 D．1【解析】令，则，即，，，，则，的周期为6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故选：．22．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则 A． B．（1） C．是偶函数 D．为的极小值点【解析】由，取，可得，故正确；取，可得（1）（1），即（1），故正确；取，得（1），即（1），取，得，可得是偶函数，故正确；由上可知，（1），而函数解析式不确定，不妨取，满足，常数函数无极值，故错误．故选：．23．（2020•上海）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．（1）当，判断、是否具有性质；（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．【解析】（1）为减函数，，具有性质；为增函数，，不具有性质；（2）依题意，对任意，恒成立，为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得，当时，函数单调递增，满足对任意，恒成立，综上，实数的取值范围为，．（3）为整数集，具有性质的函数均为常值函数，当时，取单调递减函数，两个不等式恒成立，但不为常值函数；当为正偶数时，取，两个不等式恒成立，但不为常值函数；当为正奇数时，根据对任意且，不等式恒成立，可得，则，所以为常值函数，综上，为正奇数．考点九函数的周期性24．（2019•上海）已知函数周期为1，且当时，，则 ．【解析】因为函数周期为1，所以，因为当时，，所以，故答案为：．考点十函数恒成立问题25．（2021•上海）已知，，若对任意的，，则有定义：是在关联的．（1）判断和证明是否在，关联？是否有，关联？（2）若是在关联的，在，时，，求解不等式：．（3）证明：是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”．【解析】（1）在，关联，在，不关联，任取，，则，，在，关联；取，，则，，，，在，不关联；（2）在关联，对于任意，都有，对任意，都有，由，时，，得在，的值域为，，在，的值域为，，仅在，或，上有解，，时，，令，解得，，时，，令，解得，不等式的解为，，（3）证明：①先证明：是在关联的，且是在，关联的在，是关联的，由已知条件可得，，，，又是在，关联的，任意，成立，若，，，即，，是，关联，②再证明：在，是关联的是在关联的，且是在，关联的，在，是关联的，任取，，都有，成立，即满足，都有，下面用反证法证明，若，则，与在，是关联的矛盾，若，而在，是关联的，则，矛盾，成立，即是在关联的，再证明是在，关联的，任取，，则存在，使得任取，，，，，，，，是在，关联的；综上所述，是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”，故得证．考点十一对数的运算性质26．（2022•浙江）已知，，则 A．25 B．5 C． D．【解析】由，，可得，则，故选：．考点十二对数值大小的比较27．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则 A． B． C． D．【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增，在处取最小值（1），，且，，，；，，，；设，则，令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，当时，，当时，，单调递增，，，，．故选：．28．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是 A． B． C． D．【解析】，，．故选：．考点十三反函数29．（2021•上海）已知，则（1） ．【解析】因为，令，即，解得，故（1）．故答案为：．30．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则 ．【解析】由，得，把与互换，可得的反函数为．故答案为：．考点十四函数与方程的综合运用31．（2019•浙江）设，，函数若函数恰有3个零点，则 A．， B．， C．， D．，【解析】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如右图：且，解得，，．，故选：．32．（2019•上海）已知，与轴交点为，若对于图象上任意一点，在其图象上总存在另一点、异于，满足，且，则 ．【解析】由题意，可知：令，解得：，点的坐标为：，．则．大致图象如下：由题意，很明显、两点分别在两个分段曲线上，不妨设点在左边曲线上，点在右边曲线上．设直线的斜率为，则．联立方程：，整理，得：．．，．再将代入第一个方程，可得：．点的坐标为：，．．，直线的斜率为，则．同理类似求点的坐标的过程，可得：点的坐标为：．，及的任意性，可知：，解得：．故答案为：．33．（2019•上海）已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若在，时有零点，求的取值范围．【解析】（1）．当时，．所以：转换为：，即：，解得：．故：．（2）函数在，时，有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数在，上的值域，由于：在，上单调递减，故：，，所以：，故：考点十五根据实际问题选择函数类型34．（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【解析】把，代入，可得，，当时，，则，两边取对数得，解得．故选：．35．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、