广东省深圳市罗湖区部分学校2023-2024学年高三上学期开学模拟考试(质量检测一)数学答案

2023-11-23 · 5页 · 723 K

2023—2024学年高三质量检测(一)数学参考答案一、选择题本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CADDACBB二、选择题本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。题号9101112答案ABACACDACD三、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分。5413.3√514.16015.16.[ , 2]533四、解答题本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)解:(1)设该等差数列{푎푛}的公差为푑,等比数列{푏푛}的公比为푞,푎1+푑=푎1푞由已知得{2,...............................................................................................................2分푎1+3푑=푎1푞因为数列{푎푛}为正项数列,{푏푛}为正项递增数列,所以푞=2,푑=1,...........................................................................................................................4分푛−1푛−1所以푎푛=1+(푛−1)×1=푛,푏푛=1×2=2...............................................................6分푛 , 푛为奇数(2)由已知得푐푛={,............................................................................................7分2푛−1 , 푛为偶数所以数列{푐푛}的前2푛项和为푇2푛=(푎1+푎3+⋯+푎2푛−1)+(푏2+푏4+⋯+푏2푛)=(1+3+⋯+2푛−1)+(21+23+⋯+22푛−1)...........................................................................8分(1+2푛−1)푛21×(1−4푛)=+21−43푛2+22푛+1−2=...................................................................................................................................10分318.(12分)证:(1)∵底面퐴퐵퐶퐷为正方形,∴퐴퐵⊥퐴퐷,.......................................................................................................................................1分又∵퐴퐵⊥푃퐷,퐴퐷∩푃퐷=퐷,퐴퐷 , 푃퐷⊂平面푃퐴퐷,...................................................................3分∴퐴퐵⊥平面푃퐴퐷,..............................................................................................................................4分第1页共5页{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}∵퐴퐵⊂平面퐴퐵퐶퐷,...........................................................................................................................5分∴平面푃퐴퐷⊥平面퐴퐵퐶퐷..................................................................................................................6分解:(法一)(2)取퐴퐷中点为푂,连结푃푂,∵在△푃퐴퐷中,푃퐴=푃퐷,∠푃퐷퐴=60°,∴푃푂⊥퐴퐷,△푃퐴퐷为等边三角形.∵平面푃퐴퐷⊥平面퐴퐵퐶퐷,平面푃퐴퐷∩平面퐴퐵퐶퐷=퐴퐷,푃푂⊂平面푃퐴퐷,∴푃푂⊥平面퐴퐵퐶퐷,...........................................................................................................................7分以푂为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设底面正方形퐴퐵퐶퐷的边长为2,∴푃(0,0,√3),퐴(1,0,0),퐵(1 , 2 , 0),퐶(−1 , 2 , 0),퐷(−1 , 0 , 0),∴푃퐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1 , 2 , −√3),푃퐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1 , 2 , −√3),............................................................................9分设平面푃퐵퐶的一个法向量풎=(푥 , 푦 , 푧),⃗⃗⃗⃗⃗푥+2푦−√3푧=0则{푃퐵⋅풎=0,即{,푃퐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅풎=0−푥+2푦−√3푧=0令푦=3,则푥=0,푧=2√3,∴풎=(0 , 3 , 2√3),.....................................................................................................................10分由(1)可知平面푃퐴퐷的一个法向量풏=(0 , 1 , 0),..................................................................11分设平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的夹角为휃,|풎⋅풏|321则푐표푠휃===√,|풎||풏|√21×17∴平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶夹角的余弦值为√21.................................................................................12分7zPDCOy(法二)(2)设平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的交线为푙,AB∵퐵퐶//퐴퐷,퐴퐷⊂平面푃퐴퐷,퐵퐶⊄平面푃퐴퐷,x(第18题图1)∴퐵퐶//平面푃퐴퐷,又∵퐵퐶⊂平面푃퐵퐶,∴퐵퐶//푙,퐴퐷//푙,∵平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶有一个交点푃,∴푙为过点푃且与퐵퐶平行的一条直线,如下图,..............................................................................7分取퐴퐷中点为푂,取퐵퐶中点为푀,连结푃푂,푃푀,푂푀,∵底面四边形퐴퐵퐶퐷为正方形,푂 , 푀分别为퐴퐷 , 퐵퐶的中点,∴푂푀//퐴퐵,又∵퐴퐵⊥平面푃퐴퐷,∴푂푀⊥平面푃퐴퐷,.............................................................................................................................8分∵푙⊂平面푃퐴퐷,第2页共5页{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}∴푂푀⊥푙,∵在△푃퐴퐷中,푃퐴=푃퐷,푂为퐴퐷的中点,∴푃푂⊥퐴퐷,푃푂⊥푙,又푃푂∩푂푀=푂,푃푂 , 푂푀⊂平面푃퐴퐷,∴푙⊥平面푃푂푀,∴푙⊥푃푀,又∵∠푂푃푀为锐角,∴∠푂푃푀为平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的夹角,.....................................................................................10分设底面正方形퐴퐵퐶퐷的边长为2,푃푂√3√21在△푃푂푀中,푃푀=√푃푂2+푂푀2=√7,푐표푠∠푃푂푀===,푃푀√77∴平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶夹角的余弦值为√21.................................................................................12分7lPDCOMAB(第18题图2)19.(12分)解:(1)由正弦定理得푠푖푛퐶푐표푠퐵+3푠푖푛퐵푐표푠퐶=푠푖푛퐴−푠푖푛퐵,.........................................2分因为푠푖푛퐴=푠푖푛[휋−(퐵+퐶)]=푠푖푛(퐵+퐶),所以푠푖푛퐶푐표푠퐵+3푠푖푛퐵푐표푠퐶=푠푖푛(퐵+퐶)−푠푖푛퐵,................................................................3分即푠푖푛퐶푐표푠퐵+3푠푖푛퐵푐표푠퐶=푠푖푛퐵푐표푠퐶+푐표푠퐵푠푖푛퐶−푠푖푛퐵,2푠푖푛퐵푐표푠퐶=−푠푖푛퐵,而푠푖푛퐵≠0,1所以푐표푠퐶=−,...............................................................................................................................5分2又因为퐶∈(0 , 휋),所以퐶=2π.........................................................................................................................................6分313(2)因为푐표푠퐵=,퐵∈(0 , 휋),1433所以푠푖푛퐵=√1−푐표푠2퐵=√,......................................................................................................7分142휋2휋53푠푖푛퐴=푠푖푛(퐵+퐶)=푠푖푛퐵푐표푠+푐표푠퐵푠푖푛=√,..............................................................8分33145푏푐푎푏푐==由正弦定理==,得5√33√3√3,푠푖푛퐴푠푖푛퐵푠푖푛퐶14142第3页共5页{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}解得푏=3,푐=7,..........................................................................................................................10分则퐴퐷=푐−퐵퐷=2,1153153所以푆=×퐴퐷×푏×푠푖푛퐴=×2×3×√=√........................................................12分△퐴퐶퐷22141420.(12分)解:(1)记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件퐴,“该箱产品不含次品”为事件퐵,33퐶9퐶811则푃(퐴)=0.8×1

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