2023年清华大学领军计划专业测试数学一试试题

2023年清华大学领军计划专业测试数学一试试题题对非负实数令为不超过的素数个数，如，，再令1.hixπ(x)xπ(1)=0π(2)=1f(x)xR1为第+1个素数，求100π(x)+f(x)dx的值.404kk+1题2.若定义在R上的光滑函数h(x)在x=0处的泰勒展开为ckx+ck+1x+···，其中c≠0，则定义ord(h)=k，若h(x)在x=0处泰勒展开系数均为0，则定义kord(h)=∞，令S=f(x)f(x)为定义在R上的光滑函数，满足f′(0)=1，设m=min{ord(f(g(x))−g(f(x)))|f(x)∈S,g(x)∈S}1.求m;(i)(i)2.对于f(x),g(x)∈S，设f(0)=ai，g(0)=bi，i=2,3,...，求f(g(x))−g(f(x))m在x=0处泰勒展开式中x的系数关于ai,bi的表达式.题3.给定正整数n，设A,B为n阶复方阵，满足AB+A=BA+B，求证(A−B)n=0.pP3222α题4.对x=(x1,x2,x3)∈Z，定义|x|=x+x+x.求所有的实数α，使lim|x|123→∞λx∈Z3,0<|x|<λ存在且有限.题5.给定正整数m⩾2，n⩾2以及实数a,b，设有m+n阶实方阵#JA=K1其中J为m阶方阵，K为n阶方阵：a00···00b00···001a0···001b0···00······01a0001b00J=,K=.....................000···a0000···b0000···1a000···1bm×mn×n求线性空间{X∈Mm+n(R)|AX=XA}的维数.题6.给定整数n⩾2及实数a1,a2,...,an，令n阶实矩阵000···0a1100···0a2···0100a3A=...........000···0an−1000···1anTT对线性空间V=x∈Mn(R)X=X，定义线性变换V→V,F(X)=AXA，求tr(F)和det(F).题7.给定整数n⩾2.记Sn为n阶置换群.考虑线性空间nV={(x1,x2,...,xn)∈R|x1+x2+···+xn=0}，对于τ∈Sn，定义线性变换ρτ:V→V,(x1,x2,...,xn)→(xτ(1),xτ(2),...,xτ(n)).记χ(τ)=tr(ρτ).1.对τ∈Sn，求χ(τ)所有可能取值.P2.求(χ(τ))2的值.τ∈Sn1Pnpnp题8.设p∈[1,+∞)，对x∈R，x=(x1,x2,...,xn)，定义∥x∥=|xi|.问：i=1n是否存在常数C，使得对于∀x,y∈R满足∥x∥p=∥y∥p，以及∀θ∈[0,1]，满足∥x−y∥p⩽C∥θx−(1−θ)y∥p?若存在，求出C的最小值，若不存在，说明理由.2