高考数学专题16 决策问题（解析版）

专题16决策问题例1．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元件．（1）设日销售40个零件的概率为，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z，写出z关于p的函数关系式．（2）试销结束后统计得到该4S店这30内的日销售量单位：件的数据如下表：日销售量406080100频数912其中，有两个数据未给出．试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元件；小箱每箱有40件，批发价为600元件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率．该4S店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设日销售量为80件的概率为．（i）设该4S店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y，求EX和EY；（ii）以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按什么方案批发零件？【解析】（1）由题意可得，，（2）由题意日销售量为80件的概率为，日销售量为100的概率为，（i）批发两大箱，则批发成本为60500元，当日销售量为40件时，利润为：（万元），当日销售量为60件时，利润为：（万元），当日销售量为80件时，利润为：（万元），当日销售量为100件时，利润为：（万元），（万元）．若批发两小箱，则批发成本为48000元，当日销售量为40件时，利润为：（万元），当日销售量为60件时，利润为：（万元），当日销售量为80件或100件时，利润为：（万元），（万元）．（ii）当4S店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量，当日销售量为40件时，利润为：（万元），当日销售量为60件时，利润为：（万元），当日销售量为80件时，利润为：（万元），当日销售量为100件时，利润为：（万元），（万元）．，以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按批发两大箱．例2．某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【解析】解：（1）由题可知，方案一中的日收费与的函数关系式为，．方案二中的日收费与的函数关系式为．（2）设方案一中的日收费为，由条形图可得的分布列为1902002102202300.10.40.10.20.2所以（元．方案二中的日收费为，由条形图可得的分布列为2002202400.60.20.2（元．所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．例3．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为．（1）若出现故障的机器台数为，求的分布列；（2）该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？（3）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的数学期望．【解析】解：（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为，4台机器相当于4次独立试验，设出现故障的机器台数为，则，，，，，则的分布列为：01234（2）设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为，则，，，，，这个互斥事件的和事件，则：012341，至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于．（3）设该厂获利为万元，则的所有可能取值为18，13，8，，，，的分布列为：18138．该厂获利的均值为．例4．某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布，（单位：微米，且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【解析】解：（1），由于满足二项分布，故．（2）由题意可知不合格率为，若不检查，损失的期望为，若检查，成本为，由于，当充分大时，所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件．例5．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到；（2）若从这80个零件中尺寸位于，之外的零件中随机抽取4个，设表示尺寸在，上的零件个数，求的分布列及数学期望；（3）已知尺寸在，上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．【解析】解：（1）由于，内的频率为，，内的频率为，设中位数为，，由，得，故中位数为63.47；（2）这80个零件中尺寸位于，之外的零件共有7个，其中尺寸位于，内的有3个，位于，共有4个，随机抽取4个，则，2，3，4，，，，，1234；（3）根据图象，每个零件是二等品的概率为，设余下的89个零件中二等品的个数为，由二项分布公式，，若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为，，若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为9900元，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，则，因为，所以应该对余下的零件作检验．（或者与9900相差不大，可以不做检验都行．例6．某单位准备购买三台设备，型号分别为，，已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元．为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数．该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如表所示．每台设备一个月中使用的易耗品的件数678型号30300频数型号203010型号04515将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立．（1）求该单位一个月中，，三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？【解析】解：（1）由题中的表格可知型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为，型号的设备一个月使用易耗品的件数为6，7，8的频率均为，型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为，设该单位一个月中，，三台设备使用易耗品的件数分别为，，，则，，，设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为，则，而，故，即该单位一个月中，，三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为；（2）以题意知，所有可能的取值为19，20，21，22，23，，由（1）知，，若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元，则的所有可能取值为2000，2200，2400，2600，，，，，，若该单位在购买设备的同时购买了21件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元，则的所有可能取值为2100，2300，2500，，，，，故，所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品．例7．自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州-福州-广州-海口-北海（广西）-河内-吉隆坡-雅加达-科伦坡-加尔各答-内罗毕-雅典-威尼斯的个城市中选择个城市建设自己的工业厂房，根据这个城市的需求量生产某产品，并将其销往这个城市.（1）求所选的个城市中至少有个在国内的概率；（2）已知每间工业厂房的月产量为万件，若一间厂房正常生产，则每月或获得利润万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损万，该公司为了确定建设工业厂房的数目，统计了近年来这个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：月需求量（单位：万件）100110120130月份数6241812若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？【解析】（1）记事件为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，则，所以该公司所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为.（2）设该产品每月的总利润为，①当时，万元．②当时，的分布列为所以万元.③当时，的分布列为所以万元.④当时，的分布列为所以万元.综上可知，当时万元最大，故建设厂房12间．例8．某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率合计（1）求，；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等.钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根.请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.【解析】（1）由题意知：，所以，所以.（2）（i）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为，所有可能的取值为，，，，，，，，故的分布列为（ii）按第一种方案：，按第二种方案：，，若时，，则按第一种方案，若时，，则第一、第二方案均可，若时，，则按第二种方案，故当时，按第一种方案，时，第一、二种方案均可，时，按第二种方案.例9．某商家每年都参加为期5天的商品展销会，在该展销会上商品的日销售量与是否下雨有关．经统计，2015年该商家的商品日销