高考数学专题20 放回不放回问题（解析版）

专题20放回不放回问题例1．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中，每只球的放置相互独立．(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录至少有一只球的盒子，以表示这些盒子编号的最大值，求【解析】(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件，则(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：，，，与互斥，故(3)；；；；故例2．为庆祝“2017年中国长春国际马拉松赛”，某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为.(Ⅰ)求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数；(Ⅱ)用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望．【解析】（Ⅰ）设印有“美丽长春”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽长春”标志为事件A，则同时抽取两球都是“美丽长春”标志的概率是，由对立事件的概率：P(A)＝1－＝.即，解得n＝3.（Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1，2，3，，,P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝.则η的分布列为η123P所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝.例3．已知一个口袋中装有n个红球(且)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．（Ⅰ）当时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X，求X的分布列；（II）记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？【解析】（1）当时，每次摸出两个球，中奖的概率，则；；；．所以X的分布列为X0123P（2）设每次摸球中奖的概率为p，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为，．对于函数，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故当时，取得最大值．令，即，解得或，所以当或2时，P最大．例4．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；（2）求甲取到白棋的概率.【解析】设袋中白棋共有个，，则依题意知：，∴，即，解之得（舍去）.（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量的所有可能取值是1，2，3，4，5.，，，，.（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）随机变量的概率分布列为：12345所以.（2）记事件“甲取到白棋”，则事件包括以下三个互斥事件：“甲第1次取棋时取出白棋”；“甲第2次取棋时取出白棋”；“甲第3次取棋时取出白棋”.依题意知：，，，所以，甲取到白棋的概率为例5．袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为,(1)求取球3次则停止取球的概率;(2)求随机变量的分布列.【解析】（1）记“取球3次停止”为事件，则；（2）由题意，可能的取值为2,3,4,5，；；其分布表如下：2345例6．某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时,产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)配方的频数分配表指标值分组频数10304020配方的频数分配表指标值分组频数510154030（Ⅰ）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件，求事件发生的概率；（Ⅱ）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【解析】（Ⅰ）由题意知，从配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，所以，.（Ⅱ）配方立品的利润分布列为0.60.4所以配方产品的利润分布列为0.70.250.05所以，因为，所以所以投资配方产品的平均利润率较大.例7．一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为，，，，，．（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求取出的两个球编号之和为的概率．（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求恰有次抽到号球的概率．（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列．（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，记球的最大编号为，求随机变量的分布列．【解析】（Ⅰ）共有种，和为的共种，∴．（Ⅱ）为抽个球，有的概率，∴为所求．（Ⅲ）可取，，，，，，，．∴X的分布列为（Ⅳ），，，，，．∴X的分布列为例8．从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.【解析】（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为①所以恰2次为红色球的概率为抽全三种颜色的概率②,则，（2）的可能取值为2，3，4，5,,，即分布列为：2345P例9．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求最后取出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求的分布列和数学期望【解析】（1）最后取出的是正品对应的事件是：①3件都是正品；②前3件里有1件次品2件正品，第4件是正品.前3件都是正品的概率是：3件里有1件次品2件正品，第4件是正品概率是：所以最后取出的是正品的概率：（2）的可能取值为，，.，，，故的分布列为：200300400例10．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列；(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大．【解析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，；；；；ξ分布列为：ξ0123p（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：，0＜p＜1，P'=-9p2+6p=-3p（3p-2），知在上P为增函数，在上P为减函数，当时P取得最大值．又，故n2-3n+2=0，解得：n=1或n=2，故n为1或2时，P有最大值．例11．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励:普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.【解析】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有人，则的可能值为“0，1，2”，∴.（或者.（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：，，，∴按照方案1奖励的总金额为：元，方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能值为“0，200，300”，∵摸到红球的概率：，∴，，，∴的分布列为0200300∴元，∴按照方案2奖励的总金额为：元，∵方案1奖励的总金额多于方案1奖励的总金额，∴预计方案2投资较少.