高考数学专题07 函数的奇偶性(解析版)

专题07函数的奇偶性专项突破一奇偶性的判断或证明1．下列函数中是奇函数的是（       ）A． B． C． D．【解析】对于A，，，，故为非奇非偶函数，对于B，，定义域为，，为偶函数，对于C，，为偶函数，对于D，易知定义域为R,，，为奇函数．故选：D2．已知函数，则（       ）A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数【解析】对于A，，且，的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误，对于B，，且，所以的定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，故B正确，对于C，，且，的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误，对于D，，且，所以的定义域关于原点对称，又，所以函数是奇函数，故D错误，故选：B3．下列函数中，既是偶函数，又在内单调递减的是（       ）A． B．C． D．【解析】由于，，的定义域是，，所以选项AD的函数是偶函数，选项BC的函数不是偶函数，排除BC，上是增函数，是减函数，故选：D．4．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】(1)（1）∵函数的定义域是，关于坐标原点不对称∴既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵函数的定义域为，关于坐标原点对称．又，∴为偶函数．(3)∵函数的定义域为，关于坐标原点对称，∴既是奇函数也是偶函数．(4)的定义域为．∵∴，∴为奇函数．5．函数.(1)判断并证明函数的单调性；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)解不等式.【解析】(1)，任取，令，则，∵则，可得，∴即，∴函数在上递增．(2)的定义域为，∵即，∴为定义在上的奇函数．(3)即，∵函数在上递增，∴即或．6．已知函数对一切实数都有成立，且.(1)分别求和的值；(2)判断并证明函数的奇偶性．【解析】(1)因为函数对一切实数都有成立，，所以当时，即，令可得，所以，即(2)令可得，所以，所以，即，，所以函数是奇函数.7．已知函数满足．(1)求的值；(2)求证：；(3)若，求的值．【解析】(1)因为，令，则，所以；(2)因为，令，则，又，所以，即；(3)因为且，所以，，，，，，所以，；8．设函数对任意，都有，且当时，.(1)证明：为奇函数；(2)证明：为减函数，(3)若，试求关于的不等式的解集.【解析】(1)证明：因为函数对任意，都有，所以令，则，得，令，则有，所以，即，所以为奇函数(2)证明：设，则，而时，有，则，所以，所以为减函数(3)因为为奇函数，，所以，所以，所以，所以不等式可转化为，因为为减函数，所以，即，解得，所以不等式的解集为专项突破二利用奇偶性求函数值或解析式1．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则（       ）A．27 B．－27 C．54 D．－54【解析】由已知可得，，因此，．故选:A．2．设为奇函数，且当时，，则当时，（     ）A． B．C． D．【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.故选：B.3．已知函数为偶函数，则（       ）A．2 B． C． D．【解析】函数为偶函数，当时，，，，即，又，故故选：A.4．已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（       ）A．-1 B．0 C．1 D．2【解析】是在R上的奇函数，，带入得，即，，，，关于直线对称，即原点是的对称点，x=1是对称轴，故函数是周期为的周期函数，，故选：A.5．已知是R上的奇函数，且当时，，若，则（       ）A．2020 B． C．4045 D．【解析】因为是R上的奇函数，所以，所以，得，所以当时，，所以.故选：D6．函数满足，，函数的图象关于点对称，则（       ）A．-8 B．0 C．-4 D．-2【解析】∵关于对称，∴关于对称，即是奇函数，令得，，即，解得．∴，即，∴，即函数的周期是4．∴．故选：B.7．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________.【解析】由题意得：，即①，②，②-①得：，解得：.8．设函数，若，则_____________．【解析】函数的定义域为，令，则，即，所以为奇函数；因为，所以，则，所以.9．若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝，则函数f(x)的解析式为________．【解析】∵f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.即f(x)＝，又，∴.∴a＝1，∴函数f(x)＝.，经检验符合题意.10．已知，且，则______.【解析】，故，所以11．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．(1)当时，求的解析式；(2)若，求的值．【解析】(1)（1）当时，，所以，又是偶函数，∴，∴，所以当时，；(2)当时，当时，，即，解得（舍去），当时，，∴.（舍去），综上，或.12．若奇函数在定义域上是减函数，若时，，(1)求的解析式；(2)求满足的实数m的取值范围【解析】(1)因为是定义域上的奇函数，所以对于任意，则，且.设，则，由已知得，而满足上式，所以.(2)由于在定义域上是减函数，且为奇函数，所以，即，所以有，所以m的取值范围为.专项突破三由奇偶性解不等式1．已知函数，则关于x的不等式的解集为（       ）A． B．（－1，2）C． D．【解析】的定义域是，,故是偶函数，又，令，当且仅当时取等号，在单调递增，而，时，，递减，时，，递增，故由得，解得，即不等式的解集为，故选：．2．设是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】即时，，，即，可得，当时，，，因此即时，，，所以，综上，不等式的解集为或．故选：C．3．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】当时，，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上单调递减．则不等式，即等价于，解得或．故选：D．4．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】为奇函数，，又，，则可化为：，在单调递增，，解得：，的取值范围为.故选：C.5．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．故选：D．6．设是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（       ）A． B．C． D．【解析】函数为奇函数，，函数在上是增函数，函数在上是增函数，对于，需，解得，或，解得，的范围是．故选：C．7．已知函数，若，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【解析】由题意，函数，根据二次函数的性质，作出函数的图象，如图所示，结合图象，可知函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，所以，即，当时，不等式，即为，解得；当时，不等式，即为，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：C.8．若函数是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是（       ）A． B．C． D．【解析】：在上是减函数且，当时，，当时，．又是奇函数，由函数图象的对称性知：当时，，当时，．不等式，等价于或，或，即不等式的解集为．故选：C．9．已知函数，则的解集为____________.【解析】由题意知，定义域为R，，故为奇函数，又，故为增函数，由可得，即，解得.故答案为：.10．已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.【解析】因为定义域为的函数在上单调递增，且，所以函数在上为奇函数，且在上单调递增，又，所以，又不等式等价于，所以，解得，所以不等式的解集为.11．已知是定义在R上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集为__________．【解析】，∴在上是增函数，且为偶函数，由，∴，解得，∴解集为12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)求不等式的解集.【解析】(1)当时，，.所以函数在上的解析式为.(2)当时，为增函数，所以在上为增函数.由得，所以，所以，所以不等式的解集为.专项突破四利用奇偶性求参1．若函数为奇函数，则实数的值为（       ）A．1 B．2 C． D．【解析】由为奇函数，所以，所以，可得，解得，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域为符合题意，故选：D2．已知函数是偶函数，则的值是（       ）A． B． C．1 D．2【解析】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，所以，，所以，得，故选：A3．若函数为偶函数，则实数（       ）A． B．3 C． D．9【解析】由题意，函数为偶函数，因为函数为奇函数，所以为奇函数，由，可得，解得.故选：D.4．若函数为偶函数，设，则的大小关系为（       ）A． B． C． D．【解析】函数为偶函数，恒成立，恒成立，即，在单调递增，所以，，所以.故选：D5．已知函数为偶函数，则______．【解析】由题设，，所以.6．函数是偶函数，且它的值域为，则__________．【解析】为偶函数，所以，即或，当时，值域不符合，所以不成立；当时，，若值域为，则，所以.7．若函数在上为奇函数，则___________.【解析】因为函数在上为奇函数，所以，得，又，即，即恒成立，所以，所以.8．已知是奇函数，且当时，.若，则______.【解析】由题设知：，又是奇函数，所以，可得.9．已知函数是偶函数，则实数的值为______．【解析】由题意知：定义域为R，函数是偶函数，则，即，化简得，解得.10．已知函数为R上的偶函数，则实数___________.【解析】由偶函数得，即对恒成立整理得，故11．已知函数是定义域在R上的奇函数，且.(1)求实数a，b的值；(2)解关于x的不等式：.【解析】(1)因为是定义域在R上的奇函数，故可得，即；又，故可得，即；解得.(2)由（1）知，下证是上的单调增函数.令，故可得，因为是上的单调增函数，故可得，又，故，则，即证为上的单调增函数，又为奇函数，故，即，，也即，又为上的单调减函数，故可得，解得.故不等式的解集为：.12．已知定义在上的函数为奇函数，．(1)求实数的值；(2)求函数的值域；(3)若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围.【解析】(1)是定义在上的奇函数，，即，解得：；当时，，则，即是在上的奇函数,所以a=1;(2)由（1）可得：，，，，，，的值域为，；(3)设，则，，，则，即，函数在上是减函数，由，即，因为在上是减函数，所以，对任意的，有解，即，，有解，由，，则，所以，所以，故得实数的取值范围．13．已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.【解析】（1）是偶函数，，，.此式对于一切恒成立，（2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解，等价于方程有唯一实数解，且，令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且，当，即时，则不合题意舍去；当，即时，①若，即或，当时，代入方程得，不合题意；当时，得，符合题意；②若方程有一个正根和一个负根，即，即，符合题意.综上所述，实数的取值范围是