高考数学专题08 函数的周期性(解析版)

专题08函数的周期性专项突破一周期函数的定义与求解1．有下面两个命题：①若是周期函数，则是周期函数；②若是周期函数，则是周期函数，则下列说法中正确的是（       ）．A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误【解析】若是周期函数，设周期为，则，则也是周期函数，故①正确；若是周期函数，设周期为，则，不一定成立，故②错误.故选：B.2．若函数满足，则可以是（       ）A． B． C． D．【解析】因为，所以函数的周期为.A：因为，所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；B：因为，所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；C：该函数的最小正周期为：，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；D：该函数的最小正周期为：，因此本选项符合题意，故选：D3．已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的周期为（       ）A． B． C． D．【解析】由可得，即对任意成立，则，即，由可得对任意成立，即对任意成立，则，即对任意成立，则为的一个周期；而取时，满足，此时不存在小于的周期；故选：C4．若定义在R上的偶函数f(x)满足且时，，则方程的解有（       ）A．2个 B．3个C．4个 D．多于4个【解析】由可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当，时，，故可作出函数得图象．方程的解个数等价于与图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程的解个数为4.故选：C．5．设是定义在实数集上的函数，且满足，，则是（       ）A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数【解析】因为，，所以，所以，故，所以周期为，因为，所以是奇函数.故选：C.6．已知函数的最小正周期为3，则函数的最小正周期为______．【解析】设函数的最小正周期为，则，∴，即，∴函数的最小正周期为，又函数的最小正周期为3，∴.7．函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．【解析】，，又为奇函数，，是周期为的周期函数.8．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．【解析】当时，由得，所以只需写一个周期为1的函数，所以满足条件的函数可以为.故答案为：(答案不唯一).专项突破二利用周期性求函数值(或解析式)1．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（       ）A． B． C．2 D．1【解析】由可知，函数的周期为2，当时，，∴.故选：B2．已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（       ）A． B． C．1 D．2【解析】∵函数是上的偶函数，∴，又∵对于都有，∴，∵当时，，∴，故选：C.3．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则(       )A． B． C． D．【解析】∵f(x)是R上偶函数，∴f(-x)=f(x)，又∵，∴，故f(x)的一个周期是2，故．故选：B．4．已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（       ）A．-11 B．-8 C． D．【解析】因为函数图象关于原点对称，所以，由知，函数是以4为周期的函数，又当时，，则.故选：A.5．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则的值为（       ）．A． B．0 C．1 D．2【解析】∵定义在R上的奇函数满足，∴的周期为4，∴，，∴.故选：A,6．已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为，则，即，所以，即，所以，因为，所以，所以，故选：C7．定义在R上的偶函数满足，且，则（       ）A．1 B．2 C．4 D．8【解析】因为定义在R上的偶函数满足，所以，所以，所以，所以函数是周期为4的周期函数，所以．在中，令，则，解得或-1.因为，所以.故选：B.8．已知函数的定义域为R，且满足，当，时，f(x)＝，则f(7)______.【解析】∵，∴f(x)周期为2，则f(7)＝f(2×3＋1)＝f(1)＝e.9．已知是以为周期的偶函数，且当时，，则________．【解析】．10．已知是定义在上的周期为3的奇函数，且，则___________.【解析】由题意知：，而，∴，即，∴，故.11．设定义在R上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则________.【解析】依题意知：函数为奇函数且周期为2，则，，即.∴12．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．【解析】根据题意，为偶函数，即函数的图象关于直线对称，则有，又由为奇函数，则，则有，即，即函数是周期为4的周期函数，所以13．设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________.【解析】根据题意，设，则，则有，当时，，则，又为周期为4的偶函数，所以，，则有，；故答案为：，.14．定义在上的偶函数满足，且时，，则__________.【解析】根据题意，函数满足则,则函数是周期为的周期函数，，又由时,，则，则15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．（1）求证：f(x)是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；（3）计算f(0)＋f（1）＋f（2）＋…＋f(2019)．【解析】（1）∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．（2）当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2．∴f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8．（3）f(0)＝0，f（2）＝0，f（1）＝1，f（3）＝－1．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0．∴f(0)＋f（1）＋f（2）＋…＋f(2019)＝0．16．已知函数是实数集上的函数，且，当时，.(1)求的周期.(2)求时，函数的表达式.(3)若关于的方程在区间上恰有4个解，求实数的取值范围.【解析】(1)∵是实数集上的函数，且，∴，∴，∴的周期为6.(2)∵，∴，若时，，又∵时，，∴，又∵，∴，当时，，∴，又∵，∴，∴，∴时，.(3)，图象如下：又∵恒过定点，联立，得，，得，，（舍），此时直线与，相切，∴若方程在区间上恰好有4解，则.∴实数的取值范围为专项突破三抽象函数周期性1．定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（       ）A． B．C． D．【解析】依题意，定义在上的函数满足，所以，所以是周期为的周期函数.故选：D2．已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（       ）A． B． C．的周期为2 D．【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，即.用x代换上式中的2x，即可得到，所以关于直线对称.函数关于点对称，所以，即所以关于点对称.对于，令x取x+1，可得：.对于，令x取x+2，可得：.所以，令x取-x，可得：，所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期为4.所以C、D错误；对于B：对于，令x取x-3，可得：.因为的最小正周期为4，所以，所以，即.故B正确.对于A：由，可得为对称轴，所以不能确定是否成立.故A错误.故选：B3．已知是奇函数，则下列等式成立的是（       ）A． B．C． D．【解析】是奇函数，则有，即，故选项A判断正确；选项B判断错误；把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图像，则由函数有对称中心，可知函数有对称中心.选项C：由，可得函数的周期为2.判断错误；选项D：由，可得函数有对称轴.判断错误.故选：A4．定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（       ）A．6 B．4 C．2 D．0【解析】∵定义在上的奇函数满足恒成立，∴，∴，又∴，，，∴.故选：C.5．若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】，则，所以，即，为周期函数，最小正周期为4，则，令得：，即，又因为为偶函数，所以，故，即，因为，所以.故选：D6．定义在正整数上的函数满足，则（       ）A． B． C． D．【解析】①，，②由①②可得，，，所以函数的周期，，故选：C7．函数对任意都有成立，且函数的图象关于原点对称，，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】函数的图象关于对称，且把向左平移1个单位可得的图象，函数的图象关于对称，即函数为奇函数，，，又，，，函数是以4为周期的周期函数，，（1），（2），即有．故选：D．8．已知是定义域为R的偶函数，，，.若是偶函数，则（       ）A．－3 B．－2 C．2 D．3【解析】因为为偶函数，则关于对称，即.即，即，也满足.又是定义域为R偶函数，关于y轴对称，∴，，∴周期为4，∴，∴.故选：D.9．已知定义在上的函数，满足，，且，则（       ）A． B． C． D．【解析】,,是奇函数，,.,,由,，的周期为...故选：C10．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列等式不一定成立的是（       ）A． B． C． D．【解析】由题意，为偶函数，则…①，为奇函数，则…②，由①②，…③，由③，…④.根据②，令，则，B正确；根据③，令，则，A正确；根据④，，D正确；而无法确定.故选：C.11．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则=（       ）A． B．0 C．1 D．2【解析】因为为偶函数，所以，所以，因为为奇函数，所以，，所以，所以，所以，所以是以4为周期的周期函数，所以，故选：B12．已知函数对满足：，，且，若，则（       ）A． B．2 C． D．4【解析】因为，∴，又故，即，所以函数的周期为6，由已知可得当时，，，又，所以，并且，所以，故选A.13．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（       ）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因为是偶函数，所以，令，则，故，所以，即，所以函数关于直线对称，因为是奇函数，所以，且函数关于对称，又因函数是由函数向右平移1个单位得到，所以关于对称，所以，所以，所以，则，即，所以函数的一个周期为，故有，故①正确；由函数关于直线对称，，所以，所以，故②正确；因为，因为关于对称，所以，所以，故③正确；又，故④正确，所以正确的个数为4个.故选：D.14．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（       ）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以图像关于对称，同时关于直线对称；所以，，故A选项错误；所以，，故B选项正确；所以，即函数为周期函数，周期为.所以，即函数为偶函数，故C选项正确；所以，故函数为奇函数，D选项正确；故选：BCD15．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（       ）A．最小正周期为4 B．C． D．【解析】因为是偶函数，所以，又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，故A错误；又当时，，所以，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确.故选：BCD.16．已知定义在R上的函数满足，且函数的图象关于对称，则___________.【解析】，，，所以函数是以12为周期的函数，又函数的图象关于对称，利用函数图像平移知，函数的图象关于对称，即，所以17．定义在实数集上的偶函数满足，则____________.【解析】因为，所以，即，即，令，则，所以，故函数的周