高考数学专题20 函数嵌套问题(解析版)

专题20函数嵌套问题一、单选题1．已知函数，则方程的根个数为（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【解析】令，即根的个数，设，所以，即或，解得或，即或，即或，解得；或或，无符合题意的解.综上所述：程的根个数为个.故选：A.2．已知函数则函数的零点个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】作出的图象，如图所示：则的值域为，求的零点，即求，即，对应方程的根.设，则，则等价于，如图所示：有3个交点，则有三个解，当时，有，解得或，当时，有，解得或（舍）故的值分别为，，，则对应解如下图对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，综上所述：的零点个数为个.故选：D3．已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（       ）A． B． C． D．【解析】由题意可知，对任意的，都有.则为定值.设，则.又由，即.可解得.则，∴.∴.令，，故在上单调递增，又由，.故的唯一零点在区间之间.则方程的解在区间上.故选:A.4．已知函数，则函数的零点个数为（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.选：B5．已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【解析】因为，由可得，所以，关于的方程、共有个不同的实数解.①先讨论方程的解的个数.当时，由，可得，当时，由，可得，当时，由，可得，所以，方程只有两解和；②下面讨论方程的解的个数.当时，由可得，可得或，当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，当时，由可得，因为，由题意可得或或，解得或.因此，实数的取值范围是.故选：B.6．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（       ）A． B． C． D．【解析】作出函数的图像如下所示，当，时，，所以时递增，当时递减，所以当时，在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；因为，即，解得或，当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，要使关于的方程恰有四个不同的实数根，则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.故选：D.7．已知函数，若函数与的图象恰有8个不同公共点，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】当时，，，由时，，得单调递减，由时，，得单调递增，故时，；当时，，由时，，得单调递减，由时，得单调递增，所以时，有极大值，当时，，作出的大致图象如图：函数与的图象恰有8个不同公共点，即方程有8个不同的根，令，根据其图象，讨论有8解情况如下：令，当在有两个解时，满足题意，即，解得，故选：A.8．定义在上的函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则（       ）A． B． C． D．【解析】作出函数的图象，如图所示，令，由图象可知，当时，方程有3个根，当或时，方程有2个根，则方程等价于，因为方程恰有个不同的实数解，所以等价于方程有两个实数解，或，或，可得这5个根也关于直线对称，所以，所以，故选：D9．设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（       ）A． B．C． D．【解析】画出函数的图象如下图所示，令，则方程可化为.由图可知：当时，与有个交点，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同实数根，∴，解得，∴实数的取值范围为.故选：B10．已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】作出的图像如图所示，由的图像可知，的极大值为，极小值为，有9个零点，令，结合和的图像可知，有3个解，分别设为，且，且每个对应都有3个满足，欲使有9个零点，由图可知：，且，，，由函数的解析式知：，，，由图像可知，，则，解得，得，故选：A.11．已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ）A． B．或C．或或 D．或【解析】依题意函数的零点即为方程的根，①当时函数的函数图象如下所示：所以有两个根，（，），而对应2个根，所以需要对应3个根，所以，即，解得；②当时函数的函数图象如下所示：所以有两个根，（，），而对应2个根，对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；③当时函数的函数图象如下所示：所以有三个根，，，从而，，，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意；④当时函数的函数图象如下所示：所以有三个根，，，（，，），而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；综上可得实数的取值范围为或；故选：D12．已知函数（e为自然对数的底数），函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（       ）．A． B．C． D．【解析】由题设，且方程的根分别为、，当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，则极大值，极小值，在各单调区间上恒有；当时，在上，在上，所以在上递减，在上递增，且，；综上，的图象如下：显然时有一个解，而原方程共有2个实数根，所以，由图知：，即.故选：D二、多选题13．已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（       ）A． B． C． D．【解析】∵，∴，，∴.设，∵，，在上先增后减，∴.∵，∴，，∴，∴.∵，∴设，∵，，在上先增后减，∴.∴.故选：BC.14．已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是则下列说法正确的有（       ）A． B． C． D．可以取到3【解析】由题设，，其函数图象如下：而的对称轴为且，即，所以必有两个零点、分别在的两侧，由上图知：且，满足原方程有四个实根，故，则，D正确；所以：；且；：；且：.；所以且，则，故A、C错误，B正确.故选：BD15．已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（       ）A． B． C． D．【解析】令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）.则解得.故选：BCD16．已知函数若关于x的方程有6个不同根，则整数m的取值可能是（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】作出函数f(x)的图象如图：关于的方程有6个不同根，令，，即方程有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上.令，若在上和上各有一个不同的零点，所以，解得，所以整数的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解，故选：ABC17．设函数，集合，则下列命题正确的是（       ）A．当时，B．当时C．若集合M有三个元素，则k的取值范围为D．若（其中），则【解析】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；B：时，由，知方程无解，则，正确；由解析式可得其函数图象如下图示：令，开口向上且对称轴为，若，则，即，有以下情况：1、，：此时，令，则在上有一个零点，∴，可得，2、，，由A知：.综上：，故C错误；若，由函数的性质及图象知：必有，.此时，，，所以，，所以，故D正确.故选：ABD18．若，则关于的方程的实数解的个数可能为（       ）A． B． C． D．【解析】由已知，作出函数图象如图所示，又，所以或，因为，有个实数解，当，即时，无解，共有个实数解；当，即，，共有个实数解；当，即时，有个实数解，共有个实数解；当，即时，有个实数解，共有个实数解；当，即时，有个实数解，共有个实数解；故选：ACD.三、填空题19．已知函数，当时，关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_______．【解析】原方程可化为，解得，，因为，则，，的图象如图所示：因为方程恰有两个不同的实数根，所以当时，则，解得；当时，，此时方程有三个不同的实数根，不成立；当时，则，此时无解；当时，则，解得；当时，此时方程无实数根，不成立；综上：或20．已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.【解析】令，则方程转化为，画出的图象，如图可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，因为恰好有6个不同的实数根，所以有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，因为，解得，，解得，所以，，每个方程有且仅有两个不相等的实数解，所以由，可得，即，解得；由，可得，即，解得；由，可得，即，而在上恒成立，综上，实数λ的取值范围为.21．已知函数.当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是_________.【解析】等价于，解得或，   因为，所以，，        如图，绘出函数的图象，方程有三个不同的实数根等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，        ①当或时，无解，不符合题意；②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；     ③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，                                                                                  综上，m的取值范围为.22．已知函数，若函数（其中）有个不同的零点，则实数的取值范围是___________．【解析】画出函数的图像，如下图所示：设，则当时，方程有一个根，当时，方程有两个根，当时，方程有三个根，当时，方程有四个根，当时，方程有三个根，当时，方程有两个根，所以，若和为方程的两根时，原函数有个不同的零点，则得到方程组，方程组无解；若，为方程的两根时，原函数有个不同的零点，得不等式组，解得.故答案为：.四、解答题23．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）对任意的实数x、x，且，求证：；（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．【解析】（1）．当时，，有，即．当时，，有，即．综上，函数在R上是奇函数．（2）因为函数在上是增函数，函数在R上也是增函数，故函数在上是增函数．由（1）知，函数是R上的奇函数．由奇函数的单调性知，函数在上也是增函数，从而函数在R上是增函数．由，得，所以，即．（3）由（1）知，函数是R上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，．原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，即因此，实数a的取值范围为．24．已知向量（其中），，函数，当时，函数f（x）的值域为.(1)求实数a，b的值；(2)设函数在上有两个零点，求实数λ的取值范围；(3)若对，都有恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)，当时，，，因为，所以，依题意可得，解得.(2)由（1）知，，当时，函数的图象如图：因为函数在上有两个零点，所以在的图象与有两个交点，由图可知，.(3)因为，所以对任意的，都有恒成立，设，则,即，解得.25．已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若关于x的方程在上有三个解，求a的取值范围．【解析】(1)因为图象相邻两对称轴之间的距离是，所以函数的最小正周期，解得，即，因为为奇函数，所以，，即，，又因为，所以，，(2)因为，，所以，所以，当时，解得，时，解得，即在上单调递增，在上单调递减，且，，，函数，的图象如下所示：因为关于的方程在上有三个解，令，即，，若为方程的根，此时，则，不符合题意；依题意方程在有两不相等实数根、，不妨令，且，；若为方程的根，此时，则，此时符合题意；若时，令则，即，解得，综上可得