高考数学专题09 函数的对称性(解析版)

专题09函数的对称性专项突破一判断(证明)函数的对称性1．函数图象的对称中心为（       ）A． B． C． D．【解析】因为，由向上平移一个单位得到，又关于对称，所以关于对称；故选：B2．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（       ）A． B．C． D．【解析】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.故选：A.3．设函数，则下列函数的对称中心为的是（       ）A． B． C． D．【解析】因为，由反比例函数关于知，关于对称，选项A：由图像上所有点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；选项B：由图像上所有点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；选项C：由图像上所有点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，所以对称中心为，满足题意；选项D：由图像上所有点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；故选：C4．函数（是自然对数的底数）的图象关于（       ）A．直线对称 B．点对称C．直线对称 D．点对称【解析】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而，所以的图象关于点对称．故选：D．5．有三个函数：①，②，③，其中图像是中心对称图形的函数共有（       ）.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】，显然函数的图象是中心对称图形，对称中心是，而的图形是由的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是，由得，于是不是中心对称图形，，中间是一条线段，它关于点对称，因此有两个中心对称图形．故选：C．6．已知函数，则（       ）A．在上单调递增B．在上单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【解析】因为，当时，此时为常数函数，不具有单调性，故A、B均错误；因为，，所以，所以关于对称，故C正确，D错误；故选：C7．函数的图像关于（       ）对称．A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线【解析】令，因，，即恒成立，函数的定义域是R，，因此，函数是R上的偶函数，所以函数的图像关于y轴对称.故选：C8．已知函数则（       ）A．在R上单调递增，且图象关于中心对称B．在R上单调递减，且图象关于中心对称C．在R上单调递减，且图象关于中心对称D．在R上单调递增，且图象关于中心对称【解析】当时，，当时，，时，，即对任意实数x恒有，，故图象关于中心对称；当时，单调递增；当时，单调递增，且图像连续，故在R上单调递增，故选：D.9．对于函数，时，，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（       ）A． B． C． D．【解析】因，令，则，两式相加得：，解得，所以的值为2021.故选：D10．(多选)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；下列函数有对称中心的是（）A． B．C． D．【解析】∵函数为奇函数，∴，即.对于A：由得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；对于B：，∵，∴当时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；对于C：∵是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为：故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D：，根据双勾函数的图象性质可知，关于(1，1)中心对称，故D满足题意.故选：ABD.11．函数的对称轴方程为___________.【解析】，，所以对称轴方程为12．若，则___________.【解析】根据题意，函数，则，则有；故；13．若函数的最大值和最小值分别为M、m﹐则函数的图像的对称中心是_________．【解析】函数，令，h(x)定义域为R关于原点对称，且，是奇函数，若的最大值为，最小值为，则，∴，，，∴，∴当a＝1时，，∴g(x)关于(，1)中心对称.故答案为：(，1).专项突破二利用对称性求函数解析式或函数值1．下列函数与关于对称的是（       ）A． B．C． D．【解析】关于对称的是，即.故选：C2．若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（       ）A．3 B．5 C．7 D．9【解析】设是图象上任意一点，则关于直线的对称点为，，即，，解得，故选：C3．已知函数的定义域为，且其图象关于点对称，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为图象关于点对称，则，令，，两式相加得，所以.故选:.4．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（ ）A．-ex-1 B．-ex+1 C．-e-x-1 D．-e-x+1【解析】与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式为y=-ex，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y=-ex-1，而按上述变换所得图象对应的函数是f(x)，所以f(x)=-ex-1.故选：A5．已知函数的图象与的图象关于点对称，且的图象与直线相切，则实数（）A．2 B． C．4 D．【解析】设是函数的图象上任意一点，则其关于对称的点为，因此点在的图象上，所以，整理得，即，又的图象与直线相切，所以方程，即有两个相等的实数根，则，可得．故选：C6．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则（       ）A． B． C． D．1【解析】因为时，的图象与函数的图象关于对称，所以时，，所以时，，又因为是奇函数，所以，故选：B7．已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，所以，所以函数关于对称的函数为.由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，故函数与函数图象在区间有交点，所以方程在区间上有解，所以，即，所以.故选：C.8．已知函数的图象关于点成中心对称，则下列不等关系正确的是（       ）A． B．C． D．【解析】由图象关于点成中心对称，得，可知，即，由，得，由此可解得，所以，,或时，，时，，即在和上递减，在上递增，画出其图象，如图所示：对于A，因为，所以即为，错误；同理，对于B，，即为，错误；对于C，，所以，即为，而，即，正确；对于D，即为，因为，，故D错误；故选：C.9．若函数，且，则（       ）A．0 B． C．12 D．18【解析】由，可知函数的图象关于轴对称，则，得，故，.故选：D.10．已知函数的图象关于直线对称，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，则．故选：B11．已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（       ）A．0 B． C． D．【解析】依题意，，又，所以①，而②，联立①②，解得：，，则．故选：C12．设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（       ）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086【解析】令函数，则，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得的图象关于点中心对称，即当，可得，设，，所以所以.故选：C.13．若，若的图象关于直线对称，则（       ）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【解析】∵，∴函数关于直线对称，由的图象关于直线对称，则，即对于任意的实数恒成立，由于在和上时(或和上时))分别单调递减和单调递增，且对称轴为直线，又∵和取值范围都是实数集,且除了时相等，其余情况下不相等，∴对于且使得和取值在(时)或(时)之外的所有实数的值恒成立，∴有无穷多实数根，故,故选：C.14．已知函数满足，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为，所以，所以的对称轴为，由可得，所以，故选：B.15．已知函数，且，则a的取值范围为________f（x）的最大值与最小值和为________.【解析】由，，所以，则故a的取值范围为.第（2）空:由，知关于点成中心对称图形，所以.16．若函数的图像关于对称，则的值为__________.【解析】根据题意，函数，是由的图像平移个单位得到的（，向左平移，，向右平移），所以函数的图像的对称轴为，由.17．已知函数b∈R)的图像关于点(1，1)对称，则a+b=____.【解析】因为，所以函数的图像关于点对称，因为函数b∈R)的图像关于点(1，1)对称，所以，所以专项突破三利用对称性研究单调性1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，若f(x)在区间[1，2]为增函数，则f(x)（       ）A．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是增函数；B．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是减函数；C．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是增函数；D．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是减函数.【解析】由可知图象关于对称，又为偶函数且，所以，即，为周期函数且周期为2，且在区间，上是增函数，则在区间上是减函数，所以函数在上单调递减，上单调递减，故选：．2．已知定义域为函数满足，且在区间上单调递增，如果，且，则的值（       ）A．可正可负 B．恒为正C．可能为 D．恒为负【解析】由题意可得，故函数的图象关于点对称，因为函数在区间上单调递增，则函数在上也为增函数，因为且，则，所以，，故选：B.3．已知函数的图象关于直线对称，且当时，.设，，，则（       ）A． B． C． D．【解析】由题可知：函数的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增，又，，，.故选：C4．函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围（       ）A． B．C． D．【解析】因为关于对称，所以关于轴对称，所以，又在单调递增，由可得，解得：，故选：D5．设定义在的函数，其图象关于直线对称，且当时，，则，，的大小关系为（       ）A． B．C． D．【解析】当时，，此时函数单调递减，而函数图象关于直线对称，因此函数在上单调递增，而，又因为，所以，所以，故选：B6．已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【解析】因为函数是通过函数向右平移2个单位得到且，，.易知函数的对称中心为，又函数在上是减函数，则函数在上是减函数.作出示意图如下图：则不等式的解集为：.故选：C.7．已知定义在上的偶函数满足，当时，单调递增，则（       ）A． B．C． D．【解析】因为为偶函数，所以，又，所以，所以，即是周期为4的函数，则.因为，所以，，.因为为偶函数，且当时，单调递增，所以当时，单调递减，故.故选：A.8．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递增，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【解析】因为，所以关于对称，因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为，所以，即，解得，故选：D.9．已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【解析】因为函数满足，所以函数图象关于点中心对称，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为时，，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即，易知在上单调递增，所以，所以，所以m的取值范围为，故选：A.10．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（       ）A． B．C． D．【解析】因为是R上的奇函数，且满足，所以，所以函数的图象关于对称，因为函数在区间是减函数，所以函数在上为增函数，且，由题知，，，由，则，令，解得，令，解得，所以函数在上递增，在上递减知，，所以.故选：B11．已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递减，函数满